己知椭圆 $C: \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 $（$a>b>0$）的左，右焦点分别为 $F_1, F_2$，点 $A$ 是 $C$ 上的一点（$A$ 在第一象限）且 $\angle F_1 A F_2=90^{\circ}$，$\angle F_1 A F_2$ 的角平分线 $l$ 与 $C$ 的另一个交点为点 $B$，$l$ 与 $y$ 轴交于点 $D$，若 $|A B|=2 |B D|$，则 $C$ 的离心率为_____．
答案 $\dfrac{\sqrt 3}2$．
解析 设 $A(x_0,y_0)$（$x_0,y_0>0$），则由 $\angle F_1AF_2=90^\circ$ 可得点 $A$ 在圆 $x^2+y^2=a^2-b^2$ 上，从而\[x_0^2+y_0^2=c^2,\quad \dfrac{x_0^2}{a^2}+\dfrac{y_0^2}{b^2}=1,\]解得\[\dfrac{x_0^2}{a^2}=\dfrac{a^2-2b^2}{a^2-b^2},\quad \dfrac{y_0^2}{b^2}=\dfrac{b^2}{a^2-b^2}.\]根据椭圆的光学性质，$\angle F_1AF_2$ 的角平分线 $l$ 为椭圆在 $A$ 处切线 $\dfrac{x_0x}{a^2}+\dfrac{y_0y}{b^2}=1$ 的垂线，于是\[l:\dfrac{y_0x}{b^2}-\dfrac{x_0y}{a^2}=\dfrac{x_0y_0c^2}{a^2b^2},\]若 $D$ 在线段 $AB$ 上，则 $D$ 为 $AB$ 中点，根据椭圆的对称性 $A,B$ 关于原点对称，矛盾．若 $D$ 在线段 $AB$ 的延长线上，则 $B$ 点的横坐标为 $\dfrac{x_0}3$，代入直线 $l$ 的方程可得其纵坐标为 $y_0\left(1-\dfrac{2a^2}{3b^2}\right)$，因此\[\dfrac{x_0^2}{9a^2}+\dfrac{y_0^2}{b^2}\left(1-\dfrac{2a^2}{3b^2}\right)^2=1,\]于是\[\dfrac{a^2-2b^2}{9(a^2-b^2)}+\dfrac{b^2}{a^2-b^2}\left(1-\dfrac{2a^2}{3b^2}\right)^2=1,\]即\[\dfrac{a^2}{b^2}-2+\left(3-\dfrac{2a^2}{b^2}\right)^2=9\left(\dfrac{a^2}{b^2}-1\right),\]也即\[\left(\dfrac{a^2}{b^2}\right)^2-5\cdot \dfrac{a^2}{b^2}+4=0,\]解得 $\dfrac{a^2}{b^2}=4$，因此 $C$ 的离心率为 $\dfrac{\sqrt 3}2$．