2025年浙江镇海中学高一数学期中考试 #11
已知定义在 $(-1,1)$ 上的函数 $f(x)$ 满足：
① 对任意 $x,y\in(-1,1)$ 都有 $f(x)+f(y)=f\left(\dfrac{x+y}{1+x y}\right)$；
② 当 $x>0$ 时，$f(x)>0$． 则下列说法中正确的是（ ）
A．$f(x)$ 是奇函数
B．$f(x)$ 是减函数
C．若 $f\left(\dfrac 1 5\right)=\dfrac 1 2$，则 $f\left(\dfrac 1 2\right)-f\left(\dfrac 1 7\right)=1$
D．$f\left(\dfrac 1{11}\right)+f\left(\dfrac 1{19}\right)+f\left(\dfrac 1{29}\right)+f\left(\dfrac 1{41}\right)<f\left(\dfrac 1 3\right)$
答案 ACD．
解析 对于选项 $\boxed{A}$，令 $(x,y)\to (0,0)$，可得 $f(0)=0$，再令 $(x,y)\to (x,-x)$，可得\[f(x)+f(-x)=f(0)\implies f(x)+f(-x)=0,\]选项正确；
对于选项 $\boxed{B}$，令 $(x,y)\to (x+m,-x)$，且 $0<x<x+m<1$，则\[f(x+m)+f(-x)=f\left(\dfrac{m}{1+(x+m)(-x)}\right)\implies f(x+m)-f(x)>0,\]因此 $f(x)$ 是增函数，选项错误；
对于选项 $\boxed{C}$，有\[f\left(\dfrac 12\right)-f\left(\dfrac 17\right)=f\left(\dfrac 12\right)+f\left(-\dfrac 17\right)=f\left(\dfrac{5}{13}\right)=2f\left(\dfrac 15\right)=1,\]选项正确；
对于选项 $\boxed{D}$，令 $(x,y)\to \left(\dfrac 1n,-\dfrac{1}{n+1}\right)$，有\[f\left(\dfrac 1n\right)-f\left(\dfrac 1{n+1}\right)=f\left(\dfrac{1}{n(n+1)-1}\right),\]于是\[LHS=\sum_{k=3}^6\left(f\left(\dfrac 1k\right)-f\left(-\dfrac{1}{k+1}\right)\right)=f\left(\dfrac 13\right)-f\left(\dfrac 17\right)<f\left(\dfrac 12\right),\]选项正确；
综上所述，正确的选项为 $\boxed{A}$ $\boxed{C}$ $\boxed{D}$．