2025年高考全国II卷 #19
甲、乙两人练习乒乓球，每个球胜者得 $1 $ 分，负者得 $ 0$ 分．设每个球甲胜的概率为 $p$（$\dfrac{1}{2}<p<1$），乙胜的概率为 $q$，$p+q=1$，且各球的胜负相互独立．对正整数 $k \geqslant 2$，记 $p_k$ 为打完 $k$ 个球后甲比乙至少多得 $ 2 $ 分的概率，$q_k$ 为打完 $k$ 个球后乙比甲至少多得 $2 $ 分的概率．
1、求 $p_3, p_4$（用 $p$ 表示）；
2、若 $\dfrac{p_4-p_3}{q_4-q_3}=4$，求 $p$；
3、证明：对任意正整数 $m$，均有 $p_{2 m+1}-q_{2 m+1}<p_{2 m}-q_{2 m}<p_{2 m+2}-q_{2 m+2}$．
解析
1、打完 $3$ 个球后，甲比乙至少多得 $2$ 分等价于 $3$ 个球甲全部取胜，于是 \[ p_3=p^3, \] 打完 $4$ 个球后，甲比乙至少多得 $ 2$ 分等价 $4$ 个球中甲胜 $3$ 个或 $4$ 个球，因此 \[ p_4=p^4+\dbinom 43 p^3 q=p^4+4p^3(1-p)=p^3(4-3 p). \]
2、根据第 $(1)$ 小题的结果，有\[p_4-p_3=p^3(4-3p)-p^3=3p^3(1-p),\]类似的，有\[q_4-q_3=3q^3(1-q)=3p(1-p)^3,\]于是\[ \dfrac{p_4-p_3}{q_4-q_3}=4\iff \dfrac{3p^3(1-p)}{3p(1-p)^3}=4\iff p^2=4(1-p)^2\iff p=\dfrac 23.\]
3、左边不等式 打完 $2m$ 个球后甲、乙的得分之差 $d_{2m}$ 为偶数： 若 $d_{2m}\leqslant 0$，则接下来 $1$ 个球无论谁胜，甲都不可能比乙至少多得 $2$ 分； 若 $d_{2m}=2$，则接下来的 $1$ 个球必须甲胜，才能做到甲比乙至少多得 $2$ 分； 若 $d_{2m}\geqslant 4$，则接下来的 $1$ 个球无论谁胜，甲都比乙至少多得 $2$ 分； 因此\[p_{2m+1}=p_{2m}-q\cdot \dbinom{2m}{m+1}\cdot p^{m+1}\cdot q^{m-1},\]于是\[p_{2m}-p_{2m+1}=\dbinom{2m}{m+1}\cdot p^{m+1}\cdot q^{m},\]类似的，有\[q_{2m}-q_{2m+1}=\dbinom{2m}{m+1}\cdot q^{m+1}\cdot p^{m},\]因此\[\dfrac{p_{2m}-p_{2m+1}}{q_{2m}-q_{2m+1}}=\dfrac pq>1,\]左边不等式得证．
右边不等式 打完 $2m+1$ 个球后甲、乙的得分之差 $d_{2m+1}$ 为奇数： 若 $d_{2m+1}\leqslant -1$，则接下来 $1$ 个球无论谁胜，甲都不可能比乙至少多得 $2$ 分； 若 $d_{2m+1}=1$，则接下来的 $1$ 个球必须甲胜，才能做到甲比乙至少多得 $2$ 分； 若 $d_{2m+1}\geqslant 3$，则接下来的 $1$ 个球无论谁胜，甲都比乙至少多得 $2$ 分； 因此\[p_{2m+2}=p_{2m+1}+p\cdot \dbinom{2m+1}{m+1}\cdot p^{m+1}\cdot q^{m},\]于是\[p_{2m+2}-p_{2m}=(p_{2m+2}-p_{2m+1})-(p_{2m}-p_{2m+1})=\dbinom{2m+1}{m+1}\cdot p^{m+1}\cdot q^{m}-\dbinom{2m}{m+1}\cdot p^{m+1}\cdot q^{m},\]进而\[(p_{2m+2}-p_{2m})-(q_{2m+2}-q_{2m})=\left(\dbinom{2m+1}{m+1}-\dbinom{2m}{m+1}\right)\cdot p^{m}\cdot q^{m}\cdot (p-q)>0,\]右边不等式得证．
综上所述，题中不等式得证．