已知椭圆方程 $\dfrac{x^2}9+\dfrac{y^2}4=1$ 的右顶点为 $A$，过定点 $P(3,2)$ 的直线与椭圆相交于点 $M,N$，点 $M$ 在 $x$ 轴上的投影为点 $Q$，$R$ 为 $MQ$ 的中点．
1、求直线 $AM,AN$ 的斜率之和；
2、求证：点 $R$ 在定直线上．
解析
1、$-\dfrac 43$．
设椭圆的参数方程为 $(x,y)=\left(3\cdot \dfrac{t^2-1}{t^2+1},2\cdot \dfrac{2t}{t^2+1}\right)$，点 $M,N$ 点对应的参数分别为 $m,n$，则直线 $MN$ 的方程为\[\dfrac x3\cdot \dfrac{ mn-1}{mn+1}+\dfrac y2\cdot \dfrac{m+n}{mn+1}=1,\]该直线过点 $(3,2)$ 即 $m+n=2$，而直线 $AM$ 的斜率\[k_1= \dfrac{2\cdot \frac{2m}{m^2+1}}{3\cdot \frac{m^2-1}{m^2+1}-3}=-\dfrac {2m}3,\]同理可得直线 $AN$ 的斜率\[k_2=-\dfrac{2n}3,\]于是直线 $AM,AN$ 的斜率之和为\[\left(-\dfrac {2m}3\right)+\left(-\dfrac{2n}3\right)=-\dfrac{2(m+n)}3=-\dfrac 43.\]
以 $A$ 为参考点，设直线 $AM,AN$ 的斜率分别为 $k_1,k_2$，则直线 $MN$ 的方程为\[k_1k_2(x-3)-\dfrac 49(x+3)=(k_1+k_2)y,\]该直线过点 $P(3,2)$，于是 $k_1+k_2=-\dfrac 43$．
2、定直线 $2x+3y-6=0$ 上．
由于 $R$ 是 $MQ$ 的中点，可得直线 $AR$ 的斜率为\[\dfrac {k_1+k_2}2=-\dfrac 23,\]因此点 $R$ 在定直线 $2x+3y-6=0$ 上．