已知抛物线 $y^2=4x$ 的焦点为 $F$，$A(1,2)$ 是抛物线上一点，$B(-1,0)$ 是 $x$ 轴上一点，过 $B$ 的直线交抛物线于点 $P,Q$，交线段 $AF$ 于点 $M$，$B,P,M,Q$ 为顺次四点．
1、求证：点 $M$ 到 $PF,QF$ 的距离相等；
2、若 $\triangle PFM$ 与 $\triangle AQM$ 的面积相等，求 $P$ 点坐标．
解析
1、设直线 $QF$ 与抛物线交于不同于 $Q$ 的点 $P'$，则根据抛物线的平均性质，$P,P'$ 关于 $x$ 轴对称，因此直线 $PF,QF$ 的斜率互为相反数，进而点 $M$ 到 $PF,QF$ 的距离相等，命题得证．
2、根据题意，有\[[\triangle PFM]=[\triangle AQM]\iff [\triangle PFQ]=[\triangle AFQ]\iff AP\parallel FQ,\]根据第 $(1)$ 小题结果，有 $PF,QF$ 斜率互为相反数，于是 $PA,PF$ 斜率互为相反数，而 $A(1,2),F(1,0)$，于是 $P$ 点纵坐标为 $1$，进而 $P$ 点坐标为 $\left(\dfrac 14,1\right)$．