已知双曲线 $\dfrac{x^2}4-\dfrac{y^2}5=1$，过点 $P(1,1)$ 的直线分别交双曲线的左、右两支于点 $A,B$，且 $\dfrac{|PA|\cdot |PB|}{|AB|}=\dfrac{19\sqrt{10}}{20}$，则直线 $AB$ 的斜率为_____．
答案 $1$．
解析 设直线 $AB$ 的参数方程为 $(x,y)=(1+t,1+kt)$，点 $A,B$ 对应的参数分别为 $t_1,t_2$，与双曲线方程联立可得\[(5-4k^2)t^2+2(5-4k)t-19=0,\]其中\[\Delta=4(5-4k)^2+4\cdot 19(5-4k^2)=80(6-2k-3k^2)>0,\]且 $A,B$ 位于双曲线两支，于是\[t_1t_2<0\iff 5-4k^2>0,\]此时\[\dfrac{19\sqrt{10}}{20}=\dfrac{|PA|\cdot |PB|}{|AB|}=\dfrac{|t_1t_2|}{|t_1-t_2|}=\dfrac{19}{4\sqrt 5\cdot \sqrt{6-2k-3k^2}},\]即\[7k^2+4k-11=0,\]解得 $k=-\dfrac{11}7$（舍去）或 $k=1$．