已知直角三角形 $ABC$ 中，$B$ 为直角，$AB=2$，$BC=1$，点 $P$ 在以 $A$ 为圆心半径 $r=1$ 的圆上，则 $\dfrac{PB}{PC}$ 的取值范围是_____．
答案 $\left[\dfrac{\sqrt{13}-1}4,\dfrac{\sqrt{13}+1}4\right]$．
解析 建立平面直角坐标系 $A-By$，设 $P(x,y)$，则\[\left(\dfrac{PB}{PC}\right)^2=\dfrac{(x-2)^2+y^2}{(x-2)^2+(y-1)^2}=\dfrac{-4x+5}{-4x-2y+6},\]设该代数式为 $t$，则\[4(-t+1)x+(-2t)y+(6t-5)=0,\]根据圆的等效判别式，有\[(4(-t+1))^2+(-2t)^2-(6t-5)^2\geqslant 0\iff 16t^2-28t+9\geqslant 0\iff \dfrac{7-\sqrt{13}}8\leqslant t\leqslant \dfrac{7+\sqrt{13}}8,\]因此所求代数式的取值范围是 $\left[\dfrac{\sqrt{13}-1}4,\dfrac{\sqrt{13}+1}4\right]$．
问题等价于 $BP=1$，$\dfrac{AB}{AP}=2$，建立平面直角坐标系 $P-By$．
根据阿波罗尼斯圆定义可得 $A$ 的轨迹是圆 $M$：\[\left(x+\frac 13\right)^2+y^2=\left(\frac 23\right)^2,\]而 $C$ 是点 $A$ 关于点 $B$ 旋转 $90^\circ$ 且缩小 $\dfrac 12$ 得到，因此点 $C$ 的轨迹也是圆 $N$：\[(x-1)^2+\left(y-\frac 23\right)^2=\left(\frac 13\right)^2,\]进而可得 $PC$ 的取值范围是 $\left[\dfrac{\sqrt{13}-1}3,\dfrac{\sqrt{13}+1}3\right]$，于是 $\dfrac{PB}{PC}$ 的取值范围是 $\left[\dfrac{\sqrt{13}-1}4,\dfrac{\sqrt{13}+1}4\right]$．