已知椭圆 $\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}3=1$，过 $F_1,F_2$ 且互相垂直的直线 $l_1$ 和 $l_2$ 分别交椭圆于 $A,B$ 和 $C,D$，设直线 $AC$ 与 $BD$ 交于点 $P$，求点 $P$ 的轨迹方程．
答案 $y=\pm 3$．
解析 设 $P(x_0,y_0)$，直线 $AB:x=ty-1$，则直线 $CD$ 的方程为\[ \left(\dfrac{x_0^2}4+\dfrac{y_0^2}3-1\right)(x-ty+1)-2(x_0-ty_0+1)\left(\dfrac{x_0x}{4}+\dfrac{y_0y}3-1\right)=0,\]该直线过点 $F_2(1,0)$，于是\[\left(\dfrac{x_0^2}4+\dfrac{y_0^2}3-1\right)\cdot 2-2(x_0-ty_0+1)\left(\dfrac{x_0}4-1\right)=0\iff \dfrac{y_0^2}3+\dfrac{3x_0}4=-ty_0\left(\dfrac{x_0}4-1\right),\]同理有\[\dfrac{y_0^2}3-\dfrac 34x_0=\dfrac 1ty_0\left(\dfrac{x_0}4+1\right),\]两式相乘可得\[\dfrac{y_0^4}9-\dfrac{9x_0^2}{16}=-y_0^2\left(\dfrac{x_0^2}{16}-1\right)\iff (y_0^2-9)\left(y_0^2+\dfrac9{16}x_0^2\right)=0\iff y_0^2=9,\]因此所求点 $P$ 的轨迹方程为 $y=\pm 3$．