已知椭圆 $\dfrac{y^2}4+\dfrac{x^2}3=1$ 的左、右顶点分别为 $A,B$，弦 $CD$ 与圆 $x^2+y^2=3$ 相切（$C$ 点位于 $D$ 点左侧），设直线 $AC,BD$ 的斜率分别为 $k_1,k_2$，求证：$k_1k_2$ 为定值．
答案 定值 $-4$．
解析 设 $AB:f(x,y)=y=0$，直线 $AC,BD$ 交于点 $P(x_0,y_0)$，$g(x,y)=\dfrac{y^2}4+\dfrac{x^2}3-1$，则直线 $CD$ 的方程为\[ g(P)\cdot f(x,y)-2f(P)\cdot g_P(x,y)=0,\]即\[\left(\dfrac{x_0^2}3+\dfrac{y_0^2}4-1\right)y-2y_0\left(\dfrac{x_0x}3+\dfrac{y_0y}4-1\right)=0\iff \dfrac{-2x_0y_0}{3}x+\left(\frac{x_0^2}3-\dfrac{y_0^2}4-1\right)y+2y_0=0,\]该直线与圆 $x^2+y^2=3$ 相切，于是\[\frac{4 x_0^2 y_0^2}{9}+\left(\frac{x_0^2}{3}-\frac{y_0^2}{4}-1\right)^2-\frac{4}{3} y_0^2=0,\]即\[\left(\dfrac{x_0^2}3+\dfrac{y_0^2}{12}-1\right)\left(\dfrac{x_0^2}3+\dfrac{3y_0^2}4-1\right)=0,\]由 $C$ 点位于 $D$ 点左侧可得点 $P$ 在椭圆 $\dfrac{x^2}3+\dfrac{y^2}{12}=1$ 上，因此 $k_1k_2=-4$ 为定值．