已知双曲线 $\dfrac{x^2}2-y^2=1$ 上两定点 $A(-2,1),B(2,1)$，过定点 $Q(0,-3)$ 的直线与双曲线交于点 $C,D$，直线 $AC,BD$ 交于点 $P$，求证：点 $P$ 在定圆上．
答案 定圆 $x^2+(y-2)^2=5$ 上．
解析 设 $P(x_0,y_0)$，直线 $AB:f(x,y)=y-1=$，$g(x,y)=\dfrac{x^2}2-y^2-1$，则直线 $CD$ 的方程为\[g(P)\cdot f(x,y)-2f(P)\cdot g_P(x,y)=0,\]即\[\left(\frac{x_0^2}2-y_0^2-1\right)(y-1)-2(y_0-1)\left(\frac{x_0x}2-y_0y-1\right)=0,\]该直线过定点 $Q(0,-3)$，于是\[x_0^2+y_0^2-4y_0-1=0,\]因此点 $P$ 在定圆 $x^2+(y-2)^2=5$ 上．