已知椭圆 $\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}3=1$，$M(2,0)$ 为其右顶点，过定点 $P(2,3)$ 作动直线与椭圆交于 $A,B$，求证：直线 $x+2y-2=0$ 上存在定点 $N$，使 $\angle MNA=\angle MNB$．
答案 定点 $N\left(\frac 45,\frac 35\right)$．
解析 设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),N(x_0,y_0)$，$g(x,y)=\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}3-1$，直线 $AN$ 的方程为\[f(x,y)=m(x-2)+n(y-3)-1=0,\]则直线 $AN$ 由 $P$ 生成的对合直线 $BN$ 的方程为\[g(P)\cdot f(x,y)-2\cdot f(P)\cdot g_P(x,y)=0,\]即\[3\big(m(x-2)+n(y-3)-1\big)-2\cdot (-1)\cdot (x+2y-2)=0,\]也即\[(3m+1)x+(3n+2)y+(-6m-9n-5)=0,\]因此\[\angle MNA=\angle MNB\iff d(M,NA)=d(M,NB)\iff \dfrac{|3m+1|}{\sqrt{m^2+n^2}}=\dfrac{3|3m+1|}{\sqrt{(3m+1)^2+(3n+2)^2}},\]整理得\[ 6m+12n+5=0\iff \left(\frac 45-2\right)m+\left(\frac 35-3\right)n-1=0,\]因此定点 $N\left(\frac 45,\frac 35\right)$．