已知椭圆 $\dfrac{x^2}4+y^2=1$，双曲线 $\dfrac{x^2}4-y^2=1$，从左顶点 $P(-2,0)$ 出发作两条直线分别交椭圆于 $A,C$ 和 $B,D$，设 $AD,BC$ 交于点 $Q$，求证：点 $Q$ 在定直线上．
答案 定直线 $x=2$．
解析 设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3),D(x_4,y_4)$，于是\[ \frac{y_1}{y_3}=\frac{x_1+2}{x_3+2}\implies \frac{y_1^2}{y_3^2}=\frac{(x_1+2)^2}{(x_3+2)^2}\implies \frac{4-x_1^2}{x_3^2-4}=\frac{(x_1+2)^2}{(x_3+2)^2}\implies \frac{2-x_1}{x_3-2}=\frac{x_1+2}{x_3+2}\implies x_1x_3=4,\]因此\[(x_1,y_1)=\left(\frac{4}{x_3},\frac{\frac{4}{x_3}+2}{x_3+2}y_3\right)=\left(\frac4{x_3},\frac{2y_3}{x_3}\right),\]且\[(x_3,y_3)=\left(\frac{4}{x_1},\dfrac{2y_1}{x_1}\right),\]因此 $f(A)=C$ 且 $f(C)=A$，同理，$f(B)=D$，$f(D)=B$，其中 $f(x,y)=\left(\dfrac 4x,\dfrac{2y}x\right)$，设 $AB:x+my+n=0$（$n\ne -2$），则 $CD$ 的方程为\[ f(AB)=0\iff \frac 4x+m\cdot \frac{2y}{x}+n=0\iff \frac n2x+my+2=0,\]因此直线 $AB$ 与 $CD$ 的交点横坐标为 $2$．类似的，有 $AC$ 的方程为 $f(BD)=0$，从而 $AC,BD$ 的交点横坐标也为 $2$，因此点 $Q$ 在定直线 $x=2$ 上．