已知椭圆 $\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}3=1$，$A,B$ 是其左、右顶点，$M,N$ 是椭圆上两点．
1、若 $MN$ 过定点 $P(1,0)$，求证：$AM$ 与 $BN$ 的交点 $C$ 在定直线上；
2、若 $AM,BN$ 的交点 $C$ 在定直线 $x=4$ 上，求证：直线 $MN$ 过定点；
3、若直线 $AM,AN$ 的斜率之积为 $-\dfrac 14$，求证：直线 $MN$ 过定点．
解析
1、设 $M(x_1,y_1),N(x_2,y_2),C(x_0,y_0)$，则\[ \begin{cases} \frac{y_0}{x_0+2}=\frac{y_1}{x_1+2},\\ \frac{y_0}{x_0-2}=\frac{y_2}{x_2-2},\end{cases}\implies \frac{x_0+2}{x_0-2}=\frac{y_2(x_1+2)}{y_1(x_2-2)},\]而\[ \left(\dfrac{x_2y_1-x_1y_2}{y_1-y_2},\dfrac{x_2y_1+x_1y_2}{y_1+y_2}\right)=(1,4)\implies \begin{cases} x_2y_1=\frac 52y_1+\frac 32y_2,\\ x_1y_2=\frac 32y_1+\frac 52y_2,\end{cases}\]于是\[3y_1(x_2-2)-y_2(x_1+2)=(3y_1x_2-y_2x_1)-(6y_1+2y_2)=0,\]因此\[\dfrac{x_0+2}{x_0-2}=3\implies x_0=4,\]点 $C$ 在定直线 $x=4$ 上．
2、设 $M(x_1,y_1),N(x_2,y_2),C(4,y_0)$，直线 $MN$ 的横截距为 $2t$，则\[ \begin{cases} \frac{y_0}{4+2}=\frac{y_1}{x_1+2},\\ \frac{y_0}{4-2}=\frac{y_2}{x_2-2},\end{cases}\implies \frac{y_2(x_1+2)}{y_1(x_2-2)}=3\implies 3y_1x_2-y_2x_1=6y_1+2y_2,\]而\[ \left(\dfrac{x_2y_1-x_1y_2}{y_1-y_2},\dfrac{x_2y_1+x_1y_2}{y_1+y_2}\right)=\left(2t,\frac 2t\right)\implies \begin{cases} x_2y_1=\left(t+\frac 1t\right)y_1+\left(-t+\frac 1t\right)y_2,\\ x_1y_2=\left(-t+\frac 1t\right)y_1+\left(t+\frac 1t\right)y_2,\end{cases}\]于是\[3y_1x_2-y_2x_1=\left(4t+\frac 2t\right)y_1+\left(-4t+\frac 2t\right)y_2\implies t=\dfrac 12,\]于是直线 $MN$ 的横截距 $2t=1$，于是直线 $MN$ 过定点 $(1,0)$．
3、设 $M(x_1,y_1),N(x_2,y_2)$，则\[\dfrac{y_1}{x_1+2}\cdot \frac{y_2}{x_2+2}=-\frac 14\implies \dfrac{y_1}{x_1+2}\cdot \left(-\dfrac 34\cdot \dfrac{x_2-2}{y_2}\right)=-\dfrac 14\implies \dfrac{y_1(x_2-2)}{y_2(x_1+2)}=\dfrac 13,\]以下略．