已知椭圆 $\dfrac{x^2}4+y^2=m$（$m>1$）上的两点 $A,B$，$P(0,1)$ 且 $\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{PB}$，则 $B$ 点横坐标的最大值为_____．
答案 $2$．
解析 设椭圆为 $f(x,y)=0$，其中 $f(x,y)=\dfrac{x^2}{4}+y^2-m$，$B(x_0,y_0)$，有\[A=3P-2B\implies f(A)=9f(P)-12f(BP)+4f(B),\]于是\[9(1-m)-12(y_0-m)=0\iff y_0=\dfrac14(m+3)\]进而\[\dfrac{x_0^2}4=m-y_0^2=-\dfrac{1}{16}m^2+\dfrac58m-\dfrac9{16}\leqslant 1,\]等号当 $m=5$ 时取得，于是 $x_0$ 的最大值为 $2$．