已知椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 上一点 $A(x_1,y_1)$，过 $A$ 的直线 $l$ 交椭圆于另一点 $Q$，$O$ 为坐标原点．
1、若 $P(x_0,y_0)$ 是椭圆上一点，且 $AQ\parallel OP$，求 $Q$ 点坐标（即 $A\xrightarrow{\overrightarrow{OP}} Q$）；
2、若 $P(x_0,y_0),B(x_2,y_2)$ 是椭圆上两点，且 $AQ\parallel BP$，求 $Q$ 点坐标（即 $A\xrightarrow{\overrightarrow{BP}} Q$）．
解析
1、设 $Q(m,n)$，则\[\left(\dfrac{n-y_1}{m-x_1},\dfrac{n+y_1}{m+x_1}\right)=\left(\dfrac{y_0}{x_0},-\dfrac{b^2x_0}{a^2y_0}\right),\]解得\[(m,n)=\left(x_1-2x_0\left(\dfrac{x_0x_1}{a^2}+\dfrac{y_0y_1}{b^2}\right),y_1-2y_0\left(\dfrac{x_0x_1}{a^2}+\dfrac{y_0y_1}{b^2}\right)\right).\]
备注 $\left(x_0\left(\dfrac{x_1x_2}{a^2}+\dfrac{y_1y_2}{b^2}\right)+y_0\left(\dfrac{x_1y_2-x_2y_1}{b^2}\right),y_0\left(\dfrac{x_1x_2}{a^2}+\dfrac{y_1y_2}{b^2}\right)+x_0\left(\dfrac{x_1y_2-x_2y_1}{b^2}\right)\right)$
2、设 $Q(m,n)$，则\[\left(\dfrac{n-y_1}{m-x_1},\dfrac{n+y_1}{m+x_1}\right)=\left(\dfrac{y_0-y_2}{x_0-x_2},\dfrac{x_0+x_2}{y_0+y_2}\right),\]解得\[(m,n)=\left(x_0\left(\dfrac{x_1x_2}{a^2}+\dfrac{y_1y_2}{b^2}\right)+y_0\left(\dfrac{x_1y_2-x_2y_1}{b^2}\right),y_0\left(\dfrac{x_1x_2}{a^2}+\dfrac{y_1y_2}{b^2}\right)+x_0\left(\dfrac{x_1y_2-x_2y_1}{b^2}\right)\right).\]
备注 设椭圆的参数方程为 $(x,y)=(a\cos\theta,b\sin\theta)$，$A,B,P,Q$ 的参数分别为 $\theta_1,\theta_2,\theta_0,\theta$，则\[\theta=\theta_1-\theta_2+\theta_0,\]应用和差角公式解得．