每日一题[3815]暗恋者

$n$（$n\in\mathbb N^{\ast}$，$n\geqslant 3$）个人相互传球，传球规则如下：若球由甲手中传出，则甲传给乙；否则，传球者等可能地将球传给另外的 $n-1$ 个人中的任何一个．第一次传球由甲手中传出，第 $k$（$k\in\mathbb N^{\ast}$）次传球后，球在甲手中的概率记为 $A_n(k)$，球在乙手中的概率记为 $B_n(k)$．

1、求 $A_5(2),B_5(2),A_5(3),B_5(3)$；

2、求 $A_n(k)$； 比较 $B_n(k+1)$ 与 $\dfrac{n-2}{n-1}A_n(k)$ 的大小，并说明理由．

解析

1、根据题意，有 $A_n(1)=0$，$B_n(1)=1$，且\[\begin{cases} A_n(k+1)=\dfrac1{n-1}\left(1-A_n(k)\right),\\ B_n(k+1)=A_n(k)+\dfrac{1}{n-1}\left(1-A_n(k)-B_n(k)\right),\end{cases}\]于是\[A_5(2)=\dfrac 14,\quad B_5(2)=0,\quad A_5(3)=\dfrac{3}{16},\quad B_5(3)=\dfrac7{16}.\]

2、根据第 $(1)$ 小题的结果，有\[A_n(k)=\dfrac 1n\left(1-\left(-\dfrac{1}{n-1}\right)^{k-1}\right).\]

3、根据第 $(1)$ 小题的结果，有\[B_n(k+1)=\dfrac{n-2}{n-1}A_n(k)+\dfrac{1}{n-1}\left(1-B_n(k)\right)>\dfrac{n-2}{n-1}A_n(k).\]