每日一题[3813]换元与估计

设函数 $f(x)=\dfrac {\mathrm e}{2 x}+\ln x$（$x>0$）．

1、求 $f(x)$ 的单调区间；

2、已知 $a,b\in \mathbb R$，曲线 $y=f(x)$ 上不同的三点 $\left(x_1,f\left(x_1\right)\right),\left(x_2,f\left(x_2\right)\right),\left(x_3,f\left(x_3\right)\right)$ 处的切线都经过点 $(a,b)$．证明：

① 若 $a>\mathrm e$，则 $0<b-f(a)<\dfrac 1 2\left(\dfrac a {\mathrm e}-1\right)$；

② 若 $0<a<\mathrm e$，$x_1<x_2<x_3$，则 $\dfrac 2 e+\dfrac{\mathrm e-a}{6 \mathrm e^2}<\dfrac 1{x_1}+\dfrac 1{x_3}<\dfrac 2 a-\dfrac{\mathrm e-a}{6 \mathrm e^2}$．

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=\dfrac{2x-\mathrm e}{2x^2},\]于是函数 $f(x)$ 的单调递减区间是 $\left(0,\dfrac 12\mathrm e\right)$，单调递增区间是 $\left(\dfrac 12\mathrm e,+\infty\right)$．

2、① 根据题意，关于 $x$ 的方程\[b-f(x)=f'(x)\cdot (a-x)\]有三个实数解，该方程即\[b=\dfrac{\mathrm e}{2x}+\ln x+\dfrac{2x-\mathrm e}{2x^2}\cdot (a-x),\]设 $t=\dfrac{\mathrm e}x$，$m=\dfrac a{\mathrm e}$，则方程变为\[b=-\dfrac 12mt^2+(m+1)t-\ln t+1,\]方程右边为函数 $g(t)$，则其导函数\[g'(t)=-mt+(m+1)-\dfrac 1t=-\dfrac{(mt-1)(t-1)}t,\]于是\[\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c}\hline t&0&&\frac 1m&&1&&+\infty\\ \hline g(t)&+\infty&\searrow&\text{极小值}&\nearrow&\text{极大值}&\searrow&-\infty \\ \hline\end{array}\] 因此\[g\left(\dfrac 1m\right)<b<g(1)\iff 1+\dfrac{1}{2m}+\ln m<b<1+\dfrac 12m,\]而\[f(a)=f(m\mathrm e)=1+\dfrac{1}{2m}+\ln m,\]欲证不等式左边成立，对于不等式右边，有\[f(a)+\dfrac 12\left(\dfrac{a}{\mathrm e}-1\right)-\left(1+\dfrac 12m\right)=\dfrac{1}{2m}+\ln m-\dfrac 12>\dfrac{1}{2m}+\left(1-\dfrac 1m\right)-\dfrac 12=\dfrac{m-1}{2m}>0,\]欲证不等式右边成立．

② 欲证命题即：若 $0<m<1$，$t_1<t_2<t_3$，则\[2+\dfrac {1-m}6<t_1+t_3<\dfrac{2}{m}-\dfrac{1-m}{6}.\]而\[-\dfrac 12mt_1^2+(m+1)t_1-\ln t_1+1=b=-\dfrac 12mt_2^2+(m+1)t_2-\ln t_2+1,\]于是\[-\dfrac 12m(t_1+t_3)(t_1-t_3)+(m+1)(t_1-t_3)=(\ln t_1-\ln t_3),\]即\[-\dfrac 12m(t_1+t_3)+(m+1)=\dfrac{\ln t_1-\ln t_3}{t_1-t_3},\]根据对数平均不等式，有\[\dfrac{2}{t_1+t_3}<-\dfrac 12m(t_1+t_3)+(m+1)<\dfrac{1}{\sqrt{t_1t_3}},\]于是\[\dfrac 12m(t_1+t_3)^2-(m+1)(t_1+t_3)+2<0,\]设 $h(x)=\dfrac 12mx^2-(m+1)x+2$，则 $h(x)$ 关于 $x=1+\dfrac 1m$ 对称，于是\[h\left(\dfrac 2m-\dfrac{1-m}6\right)=h\left(2+\dfrac {1-m}6\right)=\dfrac{m^3-14m^2+25m-12}{72}=\dfrac{(m-1)^2(m-12)}{72}<0,\]命题得证．