已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，且 $a_1=1$，$a_2=a$．
1、若数列 $\left\{a_n\right\}$ 是等差数列，且 $a_8=15$，求实数 $a$ 的值；
2、若数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_{n+2}-a_n=2$（$n\in \mathbb N^{\ast}$），且 $S_{19}=19 a_{10}$，求证：数列 $\left\{a_n\right\}$ 是等差数列；
3、设数列 $\left\{a_n\right\}$ 是等比数列，试探究当正实数 $a$ 满足什么条件时，数列 $\left\{a_n\right\}$ 具有如下性质 $M$：对于任意的 $n\geqslant 2$（$n\in\mathbb N^{\ast}$），都存在 $m\in\mathbb N^{\ast}$ 使得 $\left(S_m-a_n\right)\left(S_m-a_{n+1}\right)<0$，写出你的探求过程，并求出满足条件的正实数 $a$ 的集合．
解析
1、根据题意，有\[a=a_2=a_1+\dfrac{a_8-a_1}{8-1}=3.\]
2、根据题意，有\[a_n=\begin{cases} (n-1)+a_1,&n~\text{是奇数},\\ (n-2)+a_2,&n~\text{是偶数},\end{cases}=\begin{cases} n,&n~\text{是奇数},\\ n+(a-2),&n~\text{是偶数},\end{cases}\]于是\[S_{19}=19a_{10}\iff \sum_{k=1}^{19}k+9(a-2)=19(a+8)\iff a=2,\]于是数列 $\{a_n\}$ 是等差数列．
3、当数列 $\{a_n\}$ 是等比数列时，有 $a_n=a^{n-1}$．若 $a=1$，则\[(S_m-a_n)(S_m-a_{n+1})=(m-1)(m-1)\geqslant 0,\]不符合题意． 若 $a\ne 1$，则\[(S_m-a_n)(S_m-a_{n+1})<0\iff (S_m-a^{n-1})(S_m-a^n)<0,\]也即 $S_m$ 在 $a^{n-1}$ 和 $a^n$ 之间． 若 $0<a<1$，则\[S_m>S_1=1>a\geqslant a^{n-1}>a^n,\]不符合要求； 若 $a>1$，根据题意，在序列\[a,a^2,a^3,\cdots,a^k,a^{k+1},\cdots\]任何两相邻的项之间都存在 形如 $S_m=\dfrac{a^m-1}{a-1}$（$m\in\mathbb N^{\ast}$）的数，注意到 $S_m>a^{m-1}$ 且 $S_m$ 随 $m$ 递增，因此对任意 $k\in\mathbb N^{\ast}$，在 $a^k,a^{k+1}$ 之间的数只可能是 $S_{k+1}$，也即\[a^k<\dfrac{a^{k+1}-1}{a-1}<a^{k+1}\iff (a-2)a^{k+1}>-1,\]因此 $a\geqslant 2$，也即满足条件的正实数 $a$ 的集合为 $[2,+\infty)$．