已知公差不为零的等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 和等比数列 $\left\{b_n\right\}$ 满足 $a_1=b_1=1$，且 $a_1,2 a_2,4 a_4$ 成等比数列，$4 b_2,2 b_3,b_4$ 成等差数列．
1、求数列 $\left\{a_n\right\}$ 和 $\left\{b_n\right\}$ 的通项公式；
2、令 $c_n=3^{a_n}$，去掉数列 $\left\{c_n\right\}$ 中的第 $3 n$ 项（$n\in \mathbb N^{\ast}$），余下的项顺序不变，构成新数列 $\left\{t_n\right\}$，求数列 $\left\{t_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$；
3、令 $d_n=\dfrac{a_n}{b_n}$，记数列 $\left\{d_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$，数列 $\left\{\dfrac 1{a_n^2}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $A_n$，若数列 $\left\{p_n\right\}$ 满足 $p_1=d_1$，且对任意 $n\geqslant 2$，$n\in\mathbb N^{\ast}$，都有 $p_n=\dfrac{T_{n-1}}{n^2}+A_n d_n$，设 $\left\{p_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $E_n$，若对任意 $n\in \mathbb N^{\ast}$ 都有 $m>E_n$ 成立，求正整数 $m$ 的最小值． （参考数据：$\displaystyle\sum_{i=1}^{20}\dfrac 1{i^2}\approx 1.59616$，$\displaystyle\sum_{i=1}^{20}\dfrac i{2^{i-1}}\approx 3.99996$）
解析
1、设 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$（$d\ne 0$），$\{b_n\}$ 的公比为 $q$，则 \[\begin{cases} a_1\cdot 4a_4=(2a_2)^2,\\ 4b_2+b_4=4b_3,\end{cases}\iff \begin{cases} 4a_1(a_1+3d)=4(a_1+d)^2,\\ 4b_1q+b_1q^3=4b_1q^2,\end{cases}\iff \begin{cases} d=1,\\ q=2,\end{cases}\]从而 $a_n=n$，$b_n=2^{n-1}$．
2、根据第 $(1)$ 小题的结果，有 $c_n=3^n$，进而\[t_n=\begin{cases} 3^{\frac{3n-1}2},&n~\text{是奇数},\\ 3^{\frac{3n-2}2},&n~\text{是偶数},\end{cases}\]于是当 $n$ 是偶数时，有\[S_n=\sum_{k=1}^nt_k=\sum_{k=1}^{\frac n2}\left(t_{2k-1}+t_{2k}\right)=\sum_{k=1}^{\frac n2}\left(3^{3k-2}+3^{3k-1}\right)=4\sum_{k=1}^{\frac n2}3^{3k-2}=\dfrac{6}{13}\left(27^{\frac n2}-1\right),\]当 $n$ 是奇数时，有\[S_n=S_{n-1}+a_n=\dfrac 6{13}\left(27^{\frac {n-1}2}-1\right)+3^{\frac{3n-1}2}=\dfrac{45}{13}\cdot 27^{\frac{n-1}2}-\dfrac{6}{13},\]综上所述，有 $S_n=\begin{cases} \dfrac {45}{13}\cdot 27^{\frac {n-1}2}-\dfrac{6}{13},&n~\text{是奇数},\\ \dfrac 6{13}\cdot 27^{\frac n2}-\dfrac{6}{13},&n~\text{是偶数}.\end{cases}$
3、根据题意，有\[ p_n=(A_n-A_{n-1})T_{n-1}+A_n(T_n-T_{n-1})=A_nT_n-A_{n-1}T_{n-1},\]于是\[E_n=A_nT_n.\]一方面，有\[E_{20}=A_{20}T_{20}>1.59\cdot 3.99=(1.6-0.01)(4-0.01)=1.6\cdot 4-5.6\cdot 0.01+0.0001>6,\]另一方面，根据第 $(1)$ 小题的结果，有 $d_n=\dfrac{n}{2^{n-1}}$，于是 $T_n=\dfrac{An+B}{2^n}-B$，其中\[A=\dfrac{2\cdot \frac12}{\frac 12-1}=-2,\quad B=\dfrac{1-A\cdot \frac 12}{\frac 12-1}=-4,\]因此\[T_n=4-\dfrac{2n+4}{2^n}<4,\]而\[\displaystyle A_n=\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{1}{k^2}<1+\sum_{k=2}^n\left(\dfrac{1}{k-\frac 12}-\dfrac{1}{k+\frac 12}\right)<1+\dfrac 23=\dfrac 53,\]从而\[E_n=A_nT_n<\dfrac 53\cdot 4<7,\]因此正整数 $m$ 的最小值为 $7$．