已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的上、下顶点与一个焦点是等腰直角三角形的三个顶点，且点 $\left(1,\dfrac{\sqrt 6}2\right)$ 在椭圆上．
1、求椭圆 $C$ 的离心率及标准方程；
2、过点 $P(0,1)$ 且斜率存在的动直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于 $A,B$ 两点，问在 $y$ 轴上是否存在与点 $P$ 不同的定点 $Q$，使得 $\dfrac{|QA|}{|QB|}=\dfrac{[{\triangle APQ}]}{[{\triangle BPQ}]}$ 恒成立？若存在 $Q$ 求出定点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．
解析
1、根据题意，有\[\begin{cases} b=c,\\ \dfrac{1}{a^2}+\dfrac{3}{2b^2}=1,\\ a^2=b^2+c^2,\end{cases}\iff \begin{cases} a^2=4,\\ b^2=2,\\ c^2=2,\end{cases}\]从而椭圆 $C$ 的离心率为 $\sqrt{1-\dfrac{b^2}{a^2}}=\dfrac{\sqrt 2}2$，标准方程为 $\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}2=1$．
2、根据题意，有\[\dfrac{|QA|}{|QB|}=\dfrac{[{\triangle APQ}]}{[{\triangle BPQ}]}=\dfrac{|PA|}{|PB|}\implies QP~\text{平分}~\angle AQB,\]也即 $QA$ 与 $QB$ 的斜率之和为 $0$．设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，则 $B$ 关于 $y$ 轴的对称点 $B'(-x_2,y_2)$，于是根据截距坐标公式，点 $P,Q$ 的纵坐标之积为\[ \dfrac{x_1y_2-x_2y_1}{x_1-x_2}\cdot \dfrac{x_1y_2+(-x_2)y_1}{x_1-(-x_2)}=\dfrac{x_1^2y_2^2-x_2^2y_1^2}{x_1^2-x_2^2}=\dfrac{x_1^2\cdot b^2\left(1-\dfrac{x_2^2}{a^2}\right)-x_2^2\cdot b^2\left(1-\dfrac{x_1^2}{a^2}\right)}{x_1^2-x_2^2}=b^2,\]因此定点 $Q$ 的坐标为 $(0,2)$．