如图，已知点 $E$ 是 $ABCD$ 的边 $AB$ 的中点，$F_n$（$n\in \mathbb N^{\ast}$）为边 $BC$ 上的一列点，连接 $AF_n$ 交 $BD$ 于 $G_n$，点 $G_n$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）满足 $\overrightarrow{G_n D}=a_{n+1}\cdot\overrightarrow{G_n A}-2\left(2 a_n+3\right)\cdot\overrightarrow{G_n E}$，其中数列 $\left\{a_n\right\}$ 是首项为 $1$ 的正项数列，$S_n$ 是数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和，则下列结论正确的有[[nn]]
A．$a_3=13$
B．数列 $\left\{a_n+3\right\}$ 是等比数列
C．$a_n=4 n-3$
D．$S_n=2^{n+2}-3 n-4$
答案 ABD．
解析 将题中等式改写为以 $B$ 为起点的，有\[ \overrightarrow{BD}-\overrightarrow{BG_n}=a_{n+1}\left(\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BG_n}\right)-2(2a_n+3)\left(\overrightarrow{BE}-\overrightarrow{BG_n}\right),\]整理可得\[ (a_{n+1}+4a_n+5)\overrightarrow{BG_n}+\overrightarrow{BD}=(a_{n+1}-2a_n-3)\overrightarrow{BA},\]由于 $\overrightarrow{BG_n}$ 与 $\overrightarrow{BD}$ 共线，于是\[a_{n+1}-2a_n-3=0\implies a_{n+1}+3=2(a_n+3),\]结合 $a_1=1$，可得 $a_n=2^{n+1}-3$（$n\in\mathbb N^{\ast}$），进而 $S_n=2^{n+2}-3n-4$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）． 综上所述，正确的选项有 $\boxed{A}$ $\boxed{B}$ $\boxed{D}$．