2025年1月湖北省武汉市高三数学调研考试 #7
设双曲线 $C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$，点 $P$ 在双曲线 $C$ 上，过点 $P$ 作 $C$ 的两条渐近线的垂线，垂足分别为 $D,E$，若 $\angle F_1 PF_2=120^{\circ}$，且 $\triangle PF_1 F_2$ 的面积为 $\sqrt 3|PD|\cdot |PE|$，则双曲线两条渐近线的斜率为（ ）
A．$\pm\dfrac{\sqrt 3}3$
B．$\pm 1$
C．$\pm\sqrt 2$
D．$\pm\sqrt 3$
答案 C．
解析 根据双曲线的焦点三角形面积以及相交直线定义，有\[\begin{cases} [\triangle PF_1F_2]=b^2\cot \dfrac 12\angle F_1PF_2,\\ |PD|\cdot |PE|=\dfrac{a^2b^2}{a^2+b^2},\end{cases}\]于是由 $\triangle PF_1 F_2$ 的面积为 $\sqrt 3|PD|\cdot |PE|$ 可得\[b^2\cot60^\circ=\sqrt 3\cdot \dfrac{a^2b^2}{a^2+b^2}\iff \dfrac{b^2}{a^2}=2,\]于是双曲线两条渐近线的斜率为 $\pm\sqrt 2$．