2025年2月清华大学THUSSAT测试数学 #17
如图所示，已知抛物线 $\Gamma: y^2=4 x$ 的焦点为 $F$，直线 $l$ 过点 $P(-3,0)$．
1、若直线 $l$ 与抛物线 $\Gamma$ 相切于点 $Q$，求线段 $QF$ 的长度；
2、若直线 $l$ 与抛物线 $\Gamma$ 相交于 $A,B$ 两点，且 $\overrightarrow{PB}=2\overrightarrow{PA}$，直线 $AF$ 与抛物线 $\Gamma$ 交于另一点 $C$，连接 $BC$，记 $BC$ 中点为 $M$，直线 $PM$ 交 $AC$ 于点 $G$，求 $\triangle CMG$ 的面积．
解析
1、设 $Q(4t^2,4t)$，则 $l:4t\cdot y=2(x+4t^2)$，于是 $P(-4t^2,0)$，从而 $4t^2=3$，进而根据抛物线的定义，有\[|QF|=4t^2+1=4.\]
2、设 $A(4a^2,4a),B(4b^2,4b),C(4c^2,4c)$，不妨设 $a,b>0$，$c<0$，记 $p=2$，则由 $\overrightarrow{PB}=2\overrightarrow{PA}$ 可得 $b=2a$，而由直线 $BA$ 过点 $P$ 可得 $4ab=3$，由直线 $AC$ 过点 $F$ 可得 $4ac=-1$，因此解得\[(a,b,c)=\left(\dfrac{\sqrt 6}4,\dfrac{\sqrt 6}2,-\dfrac{\sqrt 6}6\right),\]所以 $\triangle CMG$ 的面积\[[\triangle CMG]=\dfrac 12[\triangle GBC]=\dfrac 13[\triangle ABC]=\dfrac13\cdot 2p^2|(a-b)(b-c)(c-a)|=\dfrac{10\sqrt 6}{9}.\]