2025年2月湖北省武汉市高三数学调研考试 #19
双曲线 $E:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）的一个顶点在直线 $l: y=x+1$ 上，且其离心率为 $\sqrt 5$．
1、求双曲线 $E$ 的标准方程；
2、若一条直线与双曲线恰有一个公共点，且该直线与双曲线的渐近线不平行，则定义该直线为双曲线的切线，定义该公共点为切线的切点．已知点 $T$ 在直线 $l$ 上，且过点 $T$ 恰好可作双曲线 $E$ 的两条切线，设这两条切线的切点分别为 $P$ 和 $M$．
① 设点 $T$ 的横坐标为 $t$，求 $t$ 的取值范围；
② 设直线 $TP$ 和直线 $TM$ 分别与直线 $x=-1$ 交于点 $Q$ 和点 $N$，证明：直线 $PN$ 和直线 $MQ$ 的交点在定直线上．
解析
1、根据题意，双曲线 $E$ 的左顶点为 $(-1,0)$，于是 $a=1$，进而由离心率为 $\sqrt 5$ 可得 $b=2$，所求标准方程为 $x^2-\dfrac {y^2}4=1$．
2、① 设 $T(t,t+1)$，则\[\begin{cases} t^2-\dfrac{(t+1)^2}{4}<1,\\ t^2-\dfrac{(t+1)^2}{4}\ne 0,\end{cases}\]解得 $t$ 的取值范围是 $\left(-1,\dfrac 53\right)\setminus\left\{-\dfrac 13,1\right\}$．
② 直线 $PM:~tx-\dfrac{(t+1)y}4=1$，设 $P(x_1,y_1),M(x_2,y_2)$，则\[PT:~x_1x-\dfrac{y_1y}4=1\implies Q\left(-1,\dfrac{4(1+x_1)}{-y_1}\right),\]同理 $N\left(-1,\dfrac{4(1+x_2)}{-y_2)}\right)$，于是\[\begin{cases} PN:y+\dfrac{4(1+x_2)}{y_2}=\dfrac{y_1+\dfrac{4(1+x_2)}{y_2}}{x_1+1}\cdot (x+1),\\ QM:y+\dfrac{4(1+x_1)}{y_1}=\dfrac{y_2+\dfrac{4(1+x_1)}{y_1}}{x_2+1}\cdot (x+1), \end{cases}\]即\[\begin{cases} y_2(1+x_1)y+4(1+x_1)(1+x_2)=\big(y_1y_2+4(1+x_2)\big)(x+1),\\ y_1(1+x_2)y+4(1+x_2)(1+x_1)=\big(y_2y_1+4(1+x_1)\big)(x+1),\end{cases}\]两式相减，可得\[\dfrac{(y_2x_1-y_1x_2)+(y_2-y_1)}{4(x_2-x_1)}y=x+1,\]而根据截距坐标公式和斜率公式，有\[\dfrac{y_2x_1-y_1x_2}{x_1-x_2}=-\dfrac{4}{t+1},\quad \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\dfrac{4t}{t+1},\]因此\[\dfrac{(y_2x_1-y_1x_2)+(y_2-y_1)}{4(x_2-x_1)}=1,\]从而直线 $PN$ 和直线 $MQ$ 的交点在定直线 $y=x+1$ 上．