2025年2月湖北省武汉市高三数学调研考试 #17
如图，$\triangle AOD$ 与 $\triangle BOC$ 存在对顶角 $\angle AOD=\angle BOC=\dfrac{\pi}4$，$AC=2$，$BD=2\sqrt 2$，且 $BC=AD$．
1、证明：$O$ 为 $BD$ 中点；
2、若 $\sqrt 5\sin 2 A+\cos B=\sqrt 5$，求 $OC$ 的长．
解析
1、建立平面直角坐标系 $O-Dy$，设 $A(\sqrt 2a,\sqrt 2a)$，$C(-\sqrt 2c,-\sqrt 2c)$，$D(\sqrt 2(t+1),0)$，$B(\sqrt 2(t-1),0)$，则\[\begin{cases} AC=2,\\ BC=AD,\end{cases}\implies \begin{cases} a+c=1,\\ (t+1-a)^2+a^2=(t-1+c)^2+c^2,\end{cases}\]将 $a=1-c$ 代入第二个方程解得 $t=0$，命题得证．
2、在 $OA$ 上取 $E$，使 $OE=OC$，则 $\triangle OBC$ 与 $\triangle ODE$ 全等，进而 $DE=DA$，进而\[A=\angle DEA=\pi-C=B+\dfrac{\pi}4,\]进而\[ \sqrt 5\sin 2 A+\cos B=\sqrt 5\implies \sqrt 5\sin\left(\dfrac{\pi}2+2B\right)+\cos B=\sqrt 5\implies \cos B=\dfrac{2}{\sqrt 5},\]于是\[OC=\dfrac{\sin B}{\sin C}\cdot |OB|=\dfrac{\dfrac 1{\sqrt 5}}{\dfrac{\sqrt 2}2\left(\dfrac{1}{\sqrt 5}+\dfrac{2}{\sqrt 5}\right)}\cdot \sqrt 2=\dfrac 23.\]