2025 年北京市丰台区高三期末数学试卷 #15
已知曲线 $C: a x^2+b y^2+x y=1$（$a,b$ 为常数），给出下列结论中所有正确结论的序号为_____．
① 曲线 $C$ 关于坐标原点对称；
② 当 $a+b=0$ 时，曲线 $C$ 恒过两个定点；
③ 设 $P,Q$ 为曲线 $C$ 上的两个动点，则存在 $a>0$，$b<0$，使得 $|PQ|$ 有最大值；
④ 记曲线 $C$ 在第一象限的部分与坐标轴围成的图形的面积为 $S$，则对任意 $a>0$，存在 $b>0$，使得 $S>\dfrac 1{2\sqrt{a b}}$．
答案 ①②④．
解析 设 $f(x,y)=ax^2+by^2+xy-1$，则曲线 $C:f(x,y)=0$．
对于结论 ①，由于 $f(-x,-y)=f(x,y)$，结论正确；
对于结论 ②，当 $a+b=0$ 时，有 $b=-a$，此时 \[f(x,y)=0\iff a(x^2-y^2)+(xy-1)=0,\]联立 $x^2-y^2=0$ 与 $xy-1=0$ 可得曲线 $C$ 恒过点 $(1,1)$ 和 $(-1,-1)$，结论正确；
对于结论 ③，当 $a>0$，$b<0$ 时，考虑直线 $y=y_0$（$y_0>0$）与曲线 $C$ 的公共点之间的距离\[d(y_0)=\dfrac{\sqrt{(1-4ab)y_0^2+4a}}{a}>\dfrac{\sqrt{1-4ab}}a\cdot y_0,\]因此 $|PQ|$ 没有最大值，结论错误；
对于结论 ④，此时曲线为封闭曲线即椭圆，于是 $a,b>0$，曲线 $C$ 与 $x,y$ 正半轴分别交于 $A\left(\dfrac{1}{\sqrt a},0\right)$ 和 $B\left(0,\dfrac{1}{\sqrt b}\right)$，而 $\triangle OAB$ 在椭圆 $C$ 内部（包括边界），其面积为 $\dfrac{1}{2\sqrt{ab}}$，因此结论正确；
综上所述，正确的结论的序号是 ①②④．