2025 年北京市房山区高三期末数学试卷 #15
已知函数 $f(x)=m(x-2 m)(x+m+1)$，$g(x)=\mathrm e^x-1$，下列结论中正确结论的序号是_____．
① 当 $m=1$ 时，方程 $f(x)=g(x)$ 有且只有一个实数解；
② 当 $m\in(-1,0)$ 时，对任意 $x\in\mathbb R$，$f(x)<0$ 或 $g(x)<0$；
③ 当 $m\in(0,1)$ 时，对任意 $x\in(-\infty,-2)$，$f(x) g(x)<0$；
④ 存在 $m\in\mathbb R$，对任意 $x\in\mathbb R$，$f(x)-g(x)<0$．
答案 ①②③．
解析 对于结论 ①，当 $m=1$ 时，有\[f(x)=g(x)\iff (x-2)(x+2)=\mathrm e^x-1\iff \mathrm e^{-x}(x^2-3)-1=0,\]设左侧为函数 $h(x)$，则其导函数\[h(x)=\mathrm e^{-x}\cdot (3-x)(1+x),\]于是\[\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c}\hline x&-\infty&&-1&&3&&+\infty\\ \hline h(x)&+\infty&\searrow&-2\mathrm e-1&\nearrow&6\mathrm e^{-3}-1&\searrow&0\\ \hline\end{array}\] 因此函数 $h(x)$ 只有一个零点，结论正确；
对于结论 ②，当 $m\in (-1,0)$ 时，在 $x\in(-\infty,0)$ 上满足 $g(x)<0$；$f(x)$ 开口向下，两个零点都在 $y$ 轴左侧，进而在 $x\in [0,+\infty)$ 上，$f(x)<0$，结论正确；
对于结论 ③，当 $m\in (0,1)$ 时，$f(x)$ 开口向上，两个零点都在 $x=-2$ 右侧，于是当 $x<-2$ 时有 $f(x)>0$，而当 $x<-2$ 时，$g(x)<0$，结论正确；
对于结论 ④，对任意 $m\in\mathbb R$，$2m$ 和 $-m-1$ 至少有一个为负数，记 $\min\{2m,-m-1\}=x_0$，则 $x_0<0$，此时\[f(x_0)=0>g(x_0),\]结论错误；
综上所述，正确的结论的序号是 ①②③．