2025 年北京市海淀区高三期末数学试卷 #15
已知曲线 $C: x-2\sqrt x+y^2=0$．下列四个结论中正确结论的序号为_____．
① 曲线 $C$ 关于直线 $x=1$ 对称；
② 曲线 $C$ 上恰好有 $4$ 个整点（即横、纵坐标均是整数的点）；
③ 曲线 $C$ 上存在一点 $P$，使得 $P$ 到点 $(1,0)$ 的距离小于 $1$；
④ 曲线 $C$ 所围成区域的面积大于 $4$．
答案 ②④．
解析 对于结论 ①，考虑到原点 $O(0,0)$ 在曲线上，但其关于直线 $x=1$ 对称的点 $(2,0)$ 并不在曲线上，结论错误；
对于结论 ②，由\[y^2=\sqrt x(2-\sqrt x),\]可得 $0\leqslant x\leqslant 4$，分别令 $x=0,1,2,3,4$，可得曲线 $C$ 上的所有整点为 $O(0,0),A(1,1),B(1,-1),D(4,0)$，共 $4$ 个，正确错误；
对于结论 ③，根据题意，曲线上的任意一点 $P(x,y)$ 满足\[x-2\sqrt x+y^2=0\implies (x-1)^2+y^2=(x-1)^2-(\sqrt x-1)^2+1,\]进而\[(x-1)^2+y^2=\sqrt x\left(2+\sqrt x\right)\left(\sqrt x-1\right)^2+1\leqslant 1,\]等号仅当 $x=0,1$ 时取得，结论错误；
对于结论 ④，考虑证明\[\begin{cases} 2\sqrt x-x\geqslant x,&x\in [0,1],\\ \sqrt x-x\geqslant -\dfrac13(x-4),&x\in (1,4]\end{cases}\]于是四边形 $OADB$ 在曲线 $C$ 所围城区域内部，而该四边形面积为 $4$，结论正确；
综上所述，正确的结论的序号是 ②④．