2025年北京大学寒假学堂数学试卷（回忆版） #7
已知 (5+x−5x2)1012=a0+a1x+a2x2+⋯+a2024x2024，则 2a1+4a3+6a5+⋯+2024a2023= _____．
答案 −10120．
设 f(x)=(5+x−5x2)1012，则f′(x)=1012(5+x−5x2)1011⋅(1−10x)=a1+2a2x+⋯+2023a2023x2022+2024a2024x2023,
于是{a1+2a2+⋯+2023a2023+2024a2024=f′(1),a1−2a2+⋯+2023a2023−2024a2024=f′(−1),a0+a1+⋯+a2023+a2024=f(1),a0−a1+⋯−a2023+a2024=f(−1),
因此有2a1+4a3+6a5+⋯+2024a2023=f′(1)+f′(−1)2+f(1)−f(−1)2=1012⋅(−9)+1012⋅(−1)⋅112+1+(−1)2=−10120.