2023年全国高中数学联赛北京市预赛 #9
使得 $n^2+2023 n$ 为平方数的正整数 $n$ 的最小值是____．
答案 $425$．
解析 设 $n^2+2023n=m^2$（$m\in\mathbb N^{\ast}$），则\[ (2n+2m+2023)(2n-2m+2023)=2023^2,\]记 $p=2n+2m+2023$，$q=2n-2m+2023$，$p>q$，则\[\begin{cases} n=\dfrac{p+q-4046}{4},\\ pq=7^2\cdot 17^4,\end{cases}\]因此当 $p,q$ 尽可能接近时 $n$ 取得最小值 $^{[1]}$，进而 $(p,q)=(17^3,7^2\cdot 17)$ 时 $n$ 取得最小值为 $425$．
备注 $[1]$ 当 $p,q$ 尽可能远离时 $n$ 取得最大值，进而 $(p,q)=(7^2\cdot 17^4,1)$ 时 $n$ 取得最大值为 $1022121$．