2024年10月清华大学THUSSAT测试数学 #11
一条动直线 $l_1$ 与圆 $x^2+y^2=1$ 相切，并与圆 $x^2+y^2=25$ 相交于点 $A,B$，点 $P$ 为定直线 $l_2: x+y-10=0$ 上动点，则下列说法正确的是（ ）
A．存在直线 $l_1$，使得以 $AB$ 为直径的圆与 $l_2$ 相切
B．$|PA|^2+|PB|^2$ 的最小值为 $150-20\sqrt 2$
C．$\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{PB}$ 的最大值为 $-27+10\sqrt 2$
D．$|PA|+|PB|$ 的最小值为 $8\sqrt 3$
答案 BCD．
解析 对于选项 $\boxed{A}$，根据题意，有 $|AB|=4\sqrt 6$，以 $AB$ 为直径的圆圆心为线段 $AB$ 的中点 $M$，有 $d(M,l_2)$ 的取值范围是 $\left[5\sqrt 2-1,5\sqrt 2+1\right]$，而此圆的半径为 $2\sqrt 6<5\sqrt 2-1$，因此选项 $\boxed{A}$ 错误．
对于选项 $\boxed{B}$，记坐标原点为 $O$，则\[\begin{split} |PA|^2+|PB|^2 &=\left(\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}\right)^2+\left(\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OB}\right)^2\\ &=2|OP|^2-2\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right)\cdot \overrightarrow{OP}+|OA|^2+|OB|^2\\ &=2|OP|^2-4\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{OP}+50 ,\end{split}\]其中 $|OP|$（记为 $t$）的取值范围是 $\left[5\sqrt 2,+\infty\right)$，则 $|PA|^2+|PB|^2$ 的取值范围是 $\left[2t^2-4t+50,2t^2+4t+50\right]$，因此 $|PA|^2+|PB|^2$ 的的最小值为 $150-20\sqrt 2$，选项 $\boxed{B}$ 正确．
对于选项 $\boxed{C}$，有\[\begin{split} \overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{PB}&=-\left(\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}\right)\cdot \left(\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OB}\right)\\ &=-|OP|^2+2\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}\\ &=23-|OP|^2+2\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{OP} ,\end{split}\]因此 $\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{PB}$ 的的最大值为 $-27+10\sqrt 2$，选项 $\boxed{C}$ 正确．
对于选项 $\boxed{D}$，将 $l_1$ 视为定直线，则 $l_2$ 为动直线，坐标原点 $O$ 到 $l_2$ 的距离为 $5\sqrt 2$ 即 $l_2$ 的轨迹为圆 $C: x^2+y^2=50$ 及其外侧．不妨令 $l_1$ 为 $y=1$，设 $|P A|+|P B|=2 a$，对应以 $A, B$ 为焦点的椭圆\[E:~\frac{x^2}{a^2}+\frac{(y-1)^2}{a^2-24}=1,\quad a^2>24,\] 且圆 $C$ 与椭圆 $E$ 有公共点，联立得\[\frac{50-y^2}{a^2}+\frac{y^2-2 y+1}{a^2-24}=1\iff 24 y^2-2 a^2 y-a^4+75 a^2-1200=0,\]视其为关于 $y$ 的方程，对应的判别式 \[4 a^4-4 \cdot 24 \cdot\left(-a^4+75 a^2-1200\right) \geqslant 0\iff a^4-72 a^2+24 \cdot 48 \geqslant 0,\]解得 $a^2 \leqslant 24$（舍去）或 $a^2 \geqslant 48 $，因此所求最小值为 $ 8\sqrt 3$．
综上所述，正确的选项为$\boxed{B}$$\boxed{C}$$\boxed{D}$．