2024年10月广深实验高三数学六校考试模拟考试 #18
已知函数 $f(x)=\mathrm e^x-2 a x-1+2 a$．
（1）若 $a\in\mathbb R$，讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）若 $a\in\mathbb R$，已知函数 $g(x)=(x-1)\ln (x-1)$，若 $f(x)\geqslant g(x)$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．
解析
（1）函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=\mathrm e^x-2a,\]于是 当 $a>0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,\ln (2a))$ 上单调递减，在 $(\ln(2a),+\infty)$ 上单调递增； 当 $a\leqslant 0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $\mathbb R$ 上单调递增．
（2）根据题意，有\[\forall x>1,~f(x)\geqslant g(x),\]即\[\forall x>0,~\mathrm e^{x+1}-1\geqslant x\ln x+2ax\iff \forall x>0,~2a\leqslant \dfrac{\mathrm e^{x+1}-1}{x}-\ln x,\]设右侧函数为 $h(x)$，则其导函数\[h'(x)=\dfrac{\mathrm e^{x+1}-1}{x^2}\cdot (x-1),\]于是函数 $h(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递减，在 $(1,+\infty)$ 上单调递增，在 $x=1$ 处取得极小值，也为最小值 $h(1)=\mathrm e^2-1$，因此实数 $a$ 的取值范围是 $\left(-\infty,\dfrac 12(\mathrm e^2-1)\right]$．