2024年清华大学强基计划数学试题（回忆版）#18
已知函数 $f(u)=u^2+a u+b-2$，$u=x+\dfrac{1}{x}$，$f(u)$ 有零点，则 $a^2+b^2$ 的最小值为（ ）
A．$\dfrac2{\sqrt 5}$
B．$\dfrac{\sqrt 5}2$
C．$\dfrac 45$
D．$\dfrac 54$
答案 C．
解析 根据题意，关于 $x$ 的方程\[x^2+ax+(b-2)=0\]在 $(-\infty,-2]\cup[2,+\infty)$ 上有实数解，上述方程即\[ax+b=2-x^2,\]于是\[a^2+b^2\geqslant \dfrac{(ax+b)^2}{x^2+1}=\dfrac{(2-x^2)^2}{x^2+1}=(x^2+1)+\dfrac{9}{x^2+1}-6\geqslant \dfrac 45,\]等号当 $x^2=4$ 时，即 $(a,b)=\left(-\dfrac 45,-\dfrac 25\right)$ 时可以取得，因此 $a^2+b^2$ 的最小值为 $\dfrac 45$．