2024年北京大学强基计划数学试题（回忆版）#1
$\displaystyle\sum_{i=1}^{2024}\left[\frac{19^i}{20}\right]$ 模 $ 7$ 的余数为（ ）
A．$1$
B．$3$
C．$5$
D．以上答案都不对
答案 A．
解析 由于 $19^i \equiv(-1)^i\pmod{20}$，于是\[\left[\dfrac{19^i}{20}\right]=\begin{cases} \dfrac{19^i}{20}-\dfrac{19}{20},&i~\text{为奇数},\\ \dfrac{19^i}{20}-\dfrac{1}{20},&i~\text{为偶数},\end{cases}\]于是\[\sum_{i=1}^{2024}\left[\frac{19^i}{20}\right] = -1012+\sum_{i=1}^{2024} \frac{19^i}{20} =-1012+\dfrac{19}{20}\cdot \dfrac {19^{2024}-1}{18},\] 由于 $19^2-1=20\cdot 18$，且根据费马小定理，有 $19^6\equiv 1\pmod 7$，于是\[20\cdot 18\cdot 7\mid 19^{2022}-1,\]从而\[\begin{split} \sum_{i=1}^{2024}\left[\frac{19^i}{20}\right]&\equiv -1012+19\cdot \dfrac{19^{2024}-19^2+(19^2-1)}{20\cdot 18}\pmod 7\\ &=-1012+19\cdot \dfrac{19^2(19^{2022}-1)+(19^2-1)}{20\cdot 18}\pmod 7\\ &=3+(-2)\cdot 1\pmod 7\\ &=1.\end{split}\]