每日一题[3501]逐步拆解

2024年北京大学强基计划数学试题（回忆版）#1

$\displaystyle\sum_{i=1}^{2024}\left[\frac{19^i}{20}\right]$ 模 $7$ 的余数为（       ）

A．$1$

B．$3$

C．$5$

D．以上答案都不对

答案    A．

解析    由于 $19^i \equiv(-1)^i\pmod{20}$，于是 $$\left[\dfrac{19^i}{20}\right]=\begin{cases} \dfrac{19^i}{20}-\dfrac{19}{20},&i~\text{为奇数},\\ \dfrac{19^i}{20}-\dfrac{1}{20},&i~\text{为偶数},\end{cases}$$ 于是 $$\sum_{i=1}^{2024}\left[\frac{19^i}{20}\right] = -1012+\sum_{i=1}^{2024} \frac{19^i}{20} =-1012+\dfrac{19}{20}\cdot \dfrac {19^{2024}-1}{18},$$ 由于 $19^2-1=20\cdot 18$，且根据费马小定理，有 $19^6\equiv 1\pmod 7$，于是 $$20\cdot 18\cdot 7\mid 19^{2022}-1,$$ 从而 $$\begin{split} \sum_{i=1}^{2024}\left[\frac{19^i}{20}\right]&\equiv -1012+19\cdot \dfrac{19^{2024}-19^2+(19^2-1)}{20\cdot 18}\pmod 7\\ &=-1012+19\cdot \dfrac{19^2(19^{2022}-1)+(19^2-1)}{20\cdot 18}\pmod 7\\ &=3+(-2)\cdot 1\pmod 7\\ &=1.\end{split}$$