2024年12月辽宁省名校联盟高三数学试卷 #14
已知 $\max\limits_{x \in A}\{f(x, y)\}$ 表示函数 $f(x, y)$ 当自变量 $x \in A$ 时的最大值，$\min\limits _{x \in A}\{f(x, y)\}$ 表示函数 $f(x, y)$ 当自变量 $x \in A$ 时的最小值，已知函数 $f(x, y)=-5 x y+\dfrac{5}{3}(x+y)-2$，则 $\min\limits_{x \in[0,1]}\left\{\max \limits_{y \in[0,1])}\{f(x, y)\}\right\}=$ _____．
答案 $-\dfrac{13}9$．
解析 根据题意，有\[\begin{split} \max \limits_{y \in[0,1])}\{f(x, y)\}&=\max \limits_{y \in[0,1])}\left\{5\left(\dfrac 13-x\right)y+\dfrac 53x-2\right\}\\
&=\begin{cases} f(x,1),&x\leqslant \dfrac 13,\\
f(x,0),&x>\dfrac13,\end{cases}\\
&=\begin{cases} -\dfrac{10}3x-\dfrac13,&x\leqslant\dfrac13,\\
\dfrac 53x-2,&x>\dfrac 13,\end{cases}\end{split}\]于是\[\min\limits_{x \in[0,1]}\left\{\max \limits_{y \in[0,1])}\{f(x, y)\}\right\}=f\left(\dfrac 13,1\right)=-\dfrac{13}9.\]