2024年12月辽宁省名校联盟高三数学试卷 #11
已知曲线 $C$ 是到点 $F_1(-a,0)$ 和 $F_2(a, 0)$ 的距离之积为定值 $a^2$ 点的轨迹（称为双纽线），则（ ）
A．若 $a=1$，点 $(\sqrt{2}, 0)$ 在曲线 $C$ 上
B．若 $a=1$，曲线 $C$ 的方程为 $\left(x^2+y^2\right)^2=2 x^2-y^2$
C．若 $a=2$，曲线 $C$ 上点的纵坐标的最大值为 $ 1$
D．若点 $\left(x_0, y_0\right)$ 在 $C$ 上，则 $\left|y_0\right| \leqslant\left|x_0\right|$
答案 ACD．
解析 曲线 $C$ 的方程为\[\sqrt{(x+a)^2+y^2}\cdot \sqrt{(x-a)^2+y^2}=a^2,\]即\[(x^2+y^2)^2+2a^2(y^2-x^2)=0,\]记为 $f(x,y)=0$．
对于选项 $\boxed{A}$，当 $a=1$ 时，有 $f\left(\sqrt 2,0\right)=0$，选项正确；
对于选项 $\boxed{B}$，当 $a=1$ 时，曲线方程为\[(x^2+y^2)^2+2(y^2-x^2)=0,\]选项错误；
对于选项 $\boxed{C}$，当 $a=2$ 时，曲线方程为\[(x^2+y^2)^2+8(y^2-x^2)=0\iff y^2=4\sqrt{1+x^2}-(4+x^2),\]整理可得\[y^2=1-\left(2-\sqrt{1+x^2}\right)^2,\]因此曲线 $C$ 上点的纵坐标的最大值为 $1$（此时对应点的坐标为 $\left(\pm\sqrt 3,1\right)$）．
对于选项 $\boxed{D}$，若点 $\left(x_0, y_0\right)$ 在 $C$ 上，则\[2a^2(x_0^2-y_0^2)=(x_0^2+y_0^2)^2\geqslant 0,\]于是 $|x_0|\geqslant |y_0|$，选项正确．
综上所述，正确的选项是 $\boxed{A}$ $\boxed{C}$ $\boxed{D}$．