每日一题[3493]化简求值

2024年5月湖北省武汉市调研试卷#13

已知 $\dfrac{1+\tan\alpha}{1-\tan\alpha}=\sqrt 3$，则 $\sin^4\alpha+\cos^4\alpha=$ _____．

答案    $\dfrac 78$．

解析    根据题意，有 $\tan\left(\dfrac{\pi}4+\alpha\right)=\sqrt 3$，从而 $\alpha=k\pi+\dfrac{\pi}{12}$（$k\in\mathbb Z$），而

$$\sin^4\alpha+\cos^4\alpha=(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)^2-2\sin^2\alpha\cos^2\alpha=1-\dfrac 12\sin^22\alpha=\dfrac78.$$