2024年高考全国II卷#18
某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮 $3$ 次，若 $3$ 次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为 $0$ 分，若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮 $3$ 次，每次投中得 $5$ 分，未投中得 $0$ 分，该队的比赛成绩为为第二阶段的得分总和． 某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为 $p$，乙每次投中的概率为 $q$，各次投中与相互独立．
1、若 $p=0.4$，$q=0.5$，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于 $5$ 分的概率；
2、假设 $0<p<q$， ① 为使得甲、乙所在队的比赛成绩为 $15$ 分的概率最大，则该由谁参加第一阶段的比赛？ ② 为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
解析
1、对应事件为甲、乙分别在第一、第二阶段至少投中 $1$ 次，其概率为\[ (1-(1-p)^3)\cdot (1-(1-q)^3)=(1-0.6^3)\cdot (1-0.5^3)=0.686.\]
2、根据题意，甲、乙得分 $X,Y$ 的分布列为\[\begin{array}{c|c|c|c|c}\hline k&0&5&10&15\\ \hline P(X=k)&(1-p)^3&3p(1-p)^2&3p^2(1-p)&p^3 \\ \hline P(Y=k)&(1-q)^3&3q(1-q)^2&3q^2(1-q)&q^3 \\ \hline\hline\end{array}\]
① 第一、二阶段分别派甲、乙参加得分为 $15$ 的概率为\[\begin{split} P_1&=P(X=5,10,15,Y=15)\\ &=(3p(1-p)^2+3p^2(1-p)+p^3)q^3\\ &=(1-(1-p)^3)q^3,\end{split}\]因此第一、二阶段分别派甲、乙参加和乙、甲参加得分为 $15$ 的概率之差\[\Delta_1=(1-(1-p)^3)q^3-(1-(1-q)^3)p^3=3pq(1-(1-p)(1-q))(q-p)>0,\]因此该由甲参加第一阶段的比赛．
② 第一、二阶段分别派甲、乙参加得分的期望为\[ \begin{split} E_1&=P(X=5,10,15)\cdot (0\cdot P(Y=0)+5\cdot P(Y=5)+10\cdot P(Y=10)+15\cdot P(Y=15)\\ &=5(1-(1-p)^3)(3q(1-q)^2+2\cdot 3q^2(1-q)+3q^3)\\ &=15q(1-(1-p)^3),\end{split}\]同理，有\[E_2=15p(1-(1-q)^3),\]于是第一、二阶段分别派甲、乙参加和乙、甲参加得分的期望之差为\[\Delta_2=15q(1-(1-p)^3)-15p(1-(1-q)^3))=15pq(3-p-q)(q-p)>0,\]因此该由甲参加第一阶段的比赛．