已知 $a\in\mathbb R$，函数 $f(x)=\left(1+\dfrac ax\right)\cdot \left(1+\dfrac 1x\right)^x$（$x>0$）．
1、当 $a=1$ 时，求证：$f(x)>\mathrm e$；
2、若 $f(x)>\mathrm e$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；
3、已知 $n\geqslant 2$ 且 $n\in\mathbb N^{\ast}$，求证：$\dfrac 32<\left(1+\dfrac1{2n}\right)^n<\dfrac 53$．
解析
1、当 $a=1$ 时，函数 $f(x)=\left(1+\dfrac 1x\right)^{1+x}$，不等式\[f(x)>\mathrm e\iff (1+x)\ln\left(1+\dfrac 1x\right)>1\iff \ln\left(1+\dfrac 1x\right)>\dfrac{1}{1+x},\]根据对数函数的基本放缩 $^{[1]}$ 即得．
2、不等式\[f(x)>\mathrm e\iff \ln\left(1+\dfrac ax\right)+x\ln\left(1+\dfrac 1x\right)>1\iff \ln\left(1+\dfrac ax\right)+x\ln\left(1+\dfrac 1x\right)-1>0,\]记 $g(x)=\ln(1+ax)+\dfrac 1x\ln(1+x)-1$（$x>0$），则其导函数\[g'(x)=\dfrac a{1+ax}+\dfrac{1}{x(1+x)}-\dfrac{\ln(1+x)}{x^2}.\]
情形一 $a\geqslant \dfrac12$ $^{[2]}$．此时\[g(x)\geqslant \ln\left(1+\dfrac 12x\right)+\dfrac 1x\ln(1+x)-1,\]根据对数函数的基本放缩和进阶放缩，有\[\begin{cases} \ln\left(1+\dfrac 12x\right)>1-\dfrac{1}{1+\frac 12x},\\ \ln(1+x)>\dfrac{2x}{2+x},\end{cases}\implies \ln\left(1+\dfrac 12x\right)+\dfrac 1x\ln(1+x)-1>0, \]符合题意．
情形二 $a<\dfrac 12$．此时根据对数的基本放缩和进阶放缩，有\[\begin{cases} \ln\left(1+ax\right)<ax ,\\ \ln(1+x)<\dfrac 12\left(x-\dfrac 1x\right),\end{cases}\implies \ln\left(1+\dfrac 12x\right)+\dfrac 1x\ln(1+x)-1<x\left(a-\dfrac{1}{2(1+x)}\right), \]因此在区间 $D=\begin{cases} \left(0,\dfrac{1}{2a}-1\right),&a\in \left(0,\dfrac 12\right),\\ (0,1),&a\in(-\infty,0]\end{cases}$ 上有 $g(x)<0$，不符合题意．
综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $\left[\dfrac 12,+\infty\right)$．
3、题中不等式即\[\dfrac 94<\left(1+\dfrac1{2n}\right)^{2n}<\dfrac{25}{9},\]我们证明一个更强的命题：$a_n=\left(1+\dfrac 1n\right)^n$ 单调递增且 $a_n<\mathrm e$，这样就有当 $n\geqslant 2$ 时，不等式\[\dfrac 94=a_2< a_{2n}<\mathrm e<\dfrac{25}9.\] 事实上，只需要证明 $h(x)=\dfrac{\ln(1+x)}{x}$ 在 $x\in(0,1)$ 上单调递减且 $h(x)<1$．根据对数的基本放缩，有\[h'(x)=\dfrac{\dfrac{x}{1+x}-\ln(1+x)}{x^2}<0,\quad h(x)<\dfrac {(1+x)-1}{x}=1,\]命题得证．
备注 $[1]$ 当 $x>0$ 时，有 $\ln x\geqslant 1-\dfrac 1x$，等号仅当 $x=1$ 时取得．令 $x\to \dfrac{1+x}x$ 即得．
$[2]$ 注意到 $x\to 0$ 时，$g(x)\to 0$，$g'(x)\to a-\dfrac 12$，因此讨论分界点为 $a=\dfrac 12$．