已知 $x^2=2 p y$（$p>0$）的焦点为 $ F $，且经过 $ F $ 的直线被圆 $(x-1)^2+\left(y+\dfrac{3}{2}\right)^2=9 $ 截得的线段长度的最小值为 $ 4$．
1、求拋物线的方程；
2、设坐标原点为 $O$，若经过点 $(2,0)$ 作直线 $l$ 与抛物线相交于不同的两点 $P, Q$，过点 $P,Q$ 作拋物线的切线分别与直线 $O Q, O P$ 相交于点 $M, N$，请问直线 $M N$ 是否经过定点？若是，请求出此定点坐标，若不是，请说明理由．
解析
1、题中圆圆心为 $A\left(1,-\dfrac 32\right)$，半径 $r=3$，抛物线焦点坐标为 $\left(0,\dfrac p2\right)$，由经过 $ F $ 的直线被圆截得的线段长度的最小值为 $ 4$，可得\[2\sqrt{r^2-|FA|^2}=4\iff p=1,\]因此抛物线的方程为 $x^2=2y$．
2、设 $P(2a,2a^2)$，$Q(2b,2b^2)$，则过 $P,Q$ 的切线方程分别为\[2ax=y+2a^2,\quad 2bx=y+2b^2,\]直线 $OQ:y=bx$，直线 $OP:y=ax$，因此\[ M\left(\dfrac{2a^2}{2a-b},\dfrac{2a^2b}{2a-b}\right),\quad N\left(\dfrac{2b^2}{2b-a},\dfrac{2ab^2}{2b-a}\right),\]进而直线 $PQ$ 的横截距\[s=\dfrac{2a\cdot 2b^2-2b\cdot 2a^2}{2b^2-2a^2}=\dfrac{2ab}{a+b},\]直线 $MN$ 的横截距\[t=\dfrac{\dfrac{2a^2}{2a-b}\cdot \dfrac{2ab^2}{2b-a}-\dfrac{2b^2}{2b-a}\cdot \dfrac{2a^2b}{2a-b}}{\dfrac{2ab^2}{2b-a}-\dfrac{2a^2b}{2a-b}}=\dfrac{2ab}{a+b},\]因此直线 $MN$ 与直线 $PQ$ 的横截距恒等，进而直线 $MN$ 过定点 $(2,0)$．