已知 $ F_1,F_2 $ 分别是椭圆 $ \dfrac{x^2}8+\dfrac{y^2}4=1 $ 的左、右焦点，$ P,A,B $ 为椭圆上三个不同的点，直线 $ PA $ 的方程为 $ x=2 $，且 $ \angle APB $ 的平分线经过点 $ Q(1,0)$，设 $ \triangle AF_1 F_2,\triangle BF_1 F_2 $ 内切圆的半径分别为 $ r_1,r_2 $，则 $ \dfrac{r_1}{r_2}=$_____．
答案 $5$．
解析 根据题意，线段 $PA$ 是椭圆的通径，于是 $|PF_2|=|AF_2|=\sqrt 2$，进而 $|PF_1|=3\sqrt 2$，有\[\dfrac{|PF_1|}{|PF_2|}=3=\dfrac{|QF_1|}{|QF_2|}\implies \angle F_1PQ=\angle F_2PQ,\]因此 $P,F_1,B$ 共线，如图．
由于 $ \triangle AF_1 F_2,\triangle BF_1 F_2 $ 的周长相等，因此内切圆半径的比等于面积之比\[\dfrac{[\triangle AF_1F_2]}{[\triangle BF_1F_2]}=\dfrac{d(A,F_1F_2)}{d(B,F_1F_2)}=\dfrac{|PF_1|}{|BF_1|}=\dfrac{1+e\cos\angle PF_1F_2}{1-e\cos\angle PF_1F_2}=\dfrac{1+\dfrac {\sqrt 2}2\cdot \dfrac{4}{3\sqrt 2}}{1-\dfrac{\sqrt 2}2\cdot \dfrac{4}{3\sqrt 2}}=5.\]