定义数阵 $A(m,n)$（$m,n\in\mathbb N^{\ast}$）如下：\[ A(1,n)=\dfrac 12n,\quad A(m+1,n)=\dfrac 1n\sum_{i=1}^nA(m,i),\]则
① $A(3,9)=$ _____；
② 当 $m,n\in\mathbb N^{\ast}$ 且 $m,n\leqslant 2025$ 时，$A(m,n)$ 中取值为整数的个数为_____．
答案 ① $\dfrac 32$；② $2024$．
解析 根据题意，有\[A(2,n)=\dfrac 1n\sum_{i=1}^n\dfrac i2=\dfrac 14(n+1),\cdots,\]一般的，数阵中的第 $m$ 行是首项为 $\dfrac 12$，公差为 $\dfrac1{2^m}$ 的等差数列，于是\[A(m,n)=\dfrac1{2^m}(n-1)+\dfrac 12.\] ① $A(3,9)=\dfrac 18(9-1)+\dfrac 12=\dfrac 32$； ② 根据题意，所求个数为\[ \sum_{m=1}^{2025}\left[\dfrac{2024}{2^m}+\dfrac12\right]=2024.\]
备注 事实上，有 $\displaystyle\sum_{m=1}^{+\infty}\left[\dfrac {n}{2^m}+\dfrac 12\right]=n$，考虑 $n$ 的二进制表示 $\overline{a_k\cdots a_1}_{(2)}$，则按 $n$ 的每一位在和式中的贡献分类求和，有\[\sum_{m=1}^{+\infty}\left[\dfrac {n}{2^m}+\dfrac 12\right]=\sum_{i=1}^k(a_i\cdot 2^{i-1})=n.\]