自元朝以来，穹顶便广泛应用于中国建筑中．作为＂北京十六景＂之一的地标性建筑，国家大剧院也采纳了穹顶设计．初步设计穹顶建模的步骤大致为：
步骤一 将半径为 $1$ 的圆 $O$（圆心为 $O$）沿直径 $PQ$ 分为两部分，得到半圆弧；
步骤二 保留其中一个半圆弧，将其 $n$（$n\geqslant 2$，$n\in\mathbb N^{\ast}$）等分，从端点 $P$ 出发依次连接各个等分点至另一个端点 $Q$，得到折线 $P-A_1-A_2-\cdots-A_{n-1}-Q$；
步骤三 将折线绕 $PQ$ 所在直线旋转，得到旋转体；
步骤四 不断调整 $n$ 值至合适，选取需要的旋转体部分并进行再调整． 设步骤三所得旋转体的表面积为 $S_n$，$\angle POA_k$ 的正弦值为 $T_k$（$k\leqslant n-1$，$k\in\mathbb N^{\ast}$），则（ ）
A．$0<\dfrac{S_{n+1}-S_n}{S_{n+1}+S_n}<5-2\sqrt 6$
B．$\dfrac{S_2}{S_3}=\dfrac{2\sqrt 2}3$
C．当 $n=180$ 时，$\dfrac{T_{29}}{T_{30}}>\dfrac{29}{30}$
D．$S_{99}>\dfrac{395}{99}\pi$
答案 CD．
解析 如图．
根据题意，各个圆台的母线长均为 $l=2\sin\dfrac{\pi}{2n}$，从下到上底面半径（记 $P$ 为 $A_0$，$Q$ 为 $A_n$）\[r_k=|OA_k|\cdot |\cos\angle POA_k|=\left|\cos\dfrac{k\pi}n\right|=\sin\dfrac{(n-2k)\pi}{2n},\]于是\[\begin{split} S_n&=\sum_{k=0}^{n-1}\pi(r_k+r_{k+1})\cdot l\\ &=2\pi\sum_{k=0}^{n-1}\left(2\sin\dfrac{(n-2k)\pi}{2n}\cdot \sin\dfrac{\pi}{2n}\right)\\ &=2\pi\sum_{k=0}^{n-1}\left(\sin\dfrac{(n-2k+1)\pi}{2n}-\sin\dfrac{(n-2k-1)\pi}{2n}\right)\\ &=2\pi\left(\sin\dfrac{(n+1)\pi}{2n}+\sin\dfrac{(-n+1)\pi}{2n}\right)\\ &=4\pi\cos\dfrac{\pi}{2n}, \end{split}\]
对于选项 $\boxed{A}$ $\boxed{B}$，选项即\[1<\dfrac{S_{n+1}}{S_n}<\sqrt{\dfrac 32},\]由于 $S_n$ 单调递增，于是左边不等式显然成立，而\[\dfrac{S_{n+1}S_{n-1}}{S_n^2}=\dfrac{\cos\dfrac{\pi}{2n+2}\cos\dfrac{\pi}{2n-2}}{\cos^2\dfrac{\pi}{2n}}=\dfrac{\cos\dfrac{n\pi}{n^2-1}+\cos\dfrac{\pi}{n^2-1}}{\cos\dfrac{\pi}{n}+1}=\dfrac{\cos\dfrac{\pi}{n-\frac 1n}+\cos\dfrac{\pi}{n^2-1}}{\cos\dfrac{\pi}{n}+\cos 0}<1,\]从而 $\dfrac{S_{n+1}}{S_n}$ 单调递减，又 $S_2=2\sqrt 2\pi$，$S_3=2\sqrt 3\pi$，因此\[\dfrac{S_{n+1}}{S_n}\leqslant \dfrac{S_3}{S_2}=\sqrt{\dfrac32},\]选项 $\boxed{A}$ $\boxed{B}$ 错误；
对于选项 $\boxed{C}$，由于函数 $y=\dfrac{\sin x}x$ 在 $x\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$ 上单调递减，于是当 $x_1<x_2$ 时，有\[\dfrac{\sin x_1}{x_1}>\dfrac{\sin x_2}{x_2}\implies \dfrac{\sin x_1}{\sin x_2}>\dfrac{x_1}{x_2},\]选项正确；
对于选项 $\boxed{D}$，即比较 $4\pi\cos\dfrac{\pi}{198}$ 与 $\dfrac{395\pi}{99}$ 的大小关系，也即 $\cos\dfrac{\pi}{198}$ 与 $\dfrac{395}{396}$ 的大小关系．考虑函数 $y=\cos(\pi x)$ 的割线 $AB:y=1-12\left(1-\cos\dfrac{\pi}{12}\right)x$，其中 $A(0,1)$，$B\left(\dfrac 1{12},\cos\dfrac{\pi}{12}\right)$，有\[\cos (\pi x)>1-12\left(1-\cos\dfrac{\pi}{12}\right)x>1-\dfrac 12x\impliedby \cos\dfrac{\pi}{12}>\dfrac{23}{24},\]而利用二倍角公式，有\[0.86\cdots=\dfrac{\sqrt 3}2=\cos\dfrac{\pi}6>2\left(\dfrac{23}{24}\right)^2-1=\dfrac{241}{288}=0.83\cdots,\]取 $x=\dfrac{1}{198}$ 即得选项正确；
综上所述，正确的选项为 $\boxed{C}$ $\boxed{D}$．