每日一题[3293]穹顶与割圆术

自元朝以来，穹顶便广泛应用于中国建筑中．作为＂北京十六景＂之一的地标性建筑，国家大剧院也采纳了穹顶设计．初步设计穹顶建模的步骤大致为：

步骤一    将半径为 $1$ 的圆 $O$（圆心为 $O$）沿直径 $PQ$ 分为两部分，得到半圆弧；

步骤二    保留其中一个半圆弧，将其 $n$（$n\geqslant 2$，$n\in\mathbb N^{\ast}$）等分，从端点 $P$ 出发依次连接各个等分点至另一个端点 $Q$，得到折线 $P-A_1-A_2-\cdots-A_{n-1}-Q$；

步骤三    将折线绕 $PQ$ 所在直线旋转，得到旋转体；

步骤四    不断调整 $n$ 值至合适，选取需要的旋转体部分并进行再调整． 设步骤三所得旋转体的表面积为 $S_n$，$\angle POA_k$ 的正弦值为 $T_k$（$k\leqslant n-1$，$k\in\mathbb N^{\ast}$），则（       ）

A．$0<\dfrac{S_{n+1}-S_n}{S_{n+1}+S_n}<5-2\sqrt 6$

B．$\dfrac{S_2}{S_3}=\dfrac{2\sqrt 2}3$

C．当 $n=180$ 时，$\dfrac{T_{29}}{T_{30}}>\dfrac{29}{30}$

D．$S_{99}>\dfrac{395}{99}\pi$

答案    CD．

解析    如图．

根据题意，各个圆台的母线长均为 $l=2\sin\dfrac{\pi}{2n}$，从下到上底面半径（记 $P$ 为 $A_0$，$Q$ 为 $A_n$）

$$r_k=|OA_k|\cdot |\cos\angle POA_k|=\left|\cos\dfrac{k\pi}n\right|=\sin\dfrac{(n-2k)\pi}{2n},$$ 于是 $$\begin{split} S_n&=\sum_{k=0}^{n-1}\pi(r_k+r_{k+1})\cdot l\\ &=2\pi\sum_{k=0}^{n-1}\left(2\sin\dfrac{(n-2k)\pi}{2n}\cdot \sin\dfrac{\pi}{2n}\right)\\ &=2\pi\sum_{k=0}^{n-1}\left(\sin\dfrac{(n-2k+1)\pi}{2n}-\sin\dfrac{(n-2k-1)\pi}{2n}\right)\\ &=2\pi\left(\sin\dfrac{(n+1)\pi}{2n}+\sin\dfrac{(-n+1)\pi}{2n}\right)\\ &=4\pi\cos\dfrac{\pi}{2n}, \end{split}$$

对于选项 $\boxed{A}$ $\boxed{B}$，选项即

$$1<\dfrac{S_{n+1}}{S_n}<\sqrt{\dfrac 32},$$ 由于 $S_n$ 单调递增，于是左边不等式显然成立，而 $$\dfrac{S_{n+1}S_{n-1}}{S_n^2}=\dfrac{\cos\dfrac{\pi}{2n+2}\cos\dfrac{\pi}{2n-2}}{\cos^2\dfrac{\pi}{2n}}=\dfrac{\cos\dfrac{n\pi}{n^2-1}+\cos\dfrac{\pi}{n^2-1}}{\cos\dfrac{\pi}{n}+1}=\dfrac{\cos\dfrac{\pi}{n-\frac 1n}+\cos\dfrac{\pi}{n^2-1}}{\cos\dfrac{\pi}{n}+\cos 0}<1,$$ 从而 $\dfrac{S_{n+1}}{S_n}$ 单调递减，又 $S_2=2\sqrt 2\pi$，$S_3=2\sqrt 3\pi$，因此 $$\dfrac{S_{n+1}}{S_n}\leqslant \dfrac{S_3}{S_2}=\sqrt{\dfrac32},$$ 选项 $\boxed{A}$ $\boxed{B}$ 错误；

对于选项 $\boxed{C}$，由于函数 $y=\dfrac{\sin x}x$ 在 $x\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$ 上单调递减，于是当 $x_1<x_2$ 时，有

$$\dfrac{\sin x_1}{x_1}>\dfrac{\sin x_2}{x_2}\implies \dfrac{\sin x_1}{\sin x_2}>\dfrac{x_1}{x_2},$$ 选项正确；

对于选项 $\boxed{D}$，即比较 $4\pi\cos\dfrac{\pi}{198}$ 与 $\dfrac{395\pi}{99}$ 的大小关系，也即 $\cos\dfrac{\pi}{198}$ 与 $\dfrac{395}{396}$ 的大小关系．考虑函数 $y=\cos(\pi x)$ 的割线 $AB:y=1-12\left(1-\cos\dfrac{\pi}{12}\right)x$，其中 $A(0,1)$，$B\left(\dfrac 1{12},\cos\dfrac{\pi}{12}\right)$，有

$$\cos (\pi x)>1-12\left(1-\cos\dfrac{\pi}{12}\right)x>1-\dfrac 12x\impliedby \cos\dfrac{\pi}{12}>\dfrac{23}{24},$$ 而利用二倍角公式，有 $$0.86\cdots=\dfrac{\sqrt 3}2=\cos\dfrac{\pi}6>2\left(\dfrac{23}{24}\right)^2-1=\dfrac{241}{288}=0.83\cdots,$$ 取 $x=\dfrac{1}{198}$ 即得选项正确；

综上所述，正确的选项为 $\boxed{C}$ $\boxed{D}$．