每日一题[3216]离散最值

设 $n$ 为正整数，若 $n^m \geqslant m^n$ 对所有正整数 $m$ 都成立，则 $n=$ _______．

答案    $3$．

解析    题中不等式即 $$\dfrac{\ln n}{n}\geqslant \dfrac{\ln m}{m},$$ 因此问题即求函数 $f(x)=\dfrac{\ln x}{x}$（$x\in\mathbb Z$）的最大值点．由于函数 $f(x)=\dfrac{\ln x}{x}$ 在 $(0,{\rm e})$ 上单调递增，在 $({\rm e},+\infty)$ 上单调递减，而 $$f(2)=\dfrac 12\ln 2=f(4)<f(3),$$ 因此所求 $n=3$．