每日一题[3154]剥丝抽茧

有_______组整数对 $(m, n)$ 满足 $m^2-11 m n-8 n^2=88$．

答案    $0$．

解析    根据题意，有 $$\left(m-\dfrac{11}2n\right)^2-\dfrac{153}4n^2=88\iff (2m-11n)^2-17\cdot(3n)^2=11\cdot 2^5.$$ 考虑到平方数模 $17$ 的余数为 $$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c}\hline x&0&\pm1&\pm2&\pm3&\pm4&\pm5&\pm6&\pm7&\pm8\\ \hline x^2&0&1&4&9&16&8&2&15&13\\ \hline\end{array}$$ 而 $11\cdot 2^5\equiv 12\pmod {17}$，矛盾，因此不存在满足题意的整数对 $(m,n)$．