每日一题[3124]等张角线

已知锐角 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$,若 $a=\sqrt{3}$,$b^{2}+c^{2}-b c=3$,则 $\triangle A B C$ 面积的取值范围是(       )

A.$\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{3 \sqrt{3}}{4}\right]$

B.$\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{3 \sqrt{3}}{4}\right)$

C.$\left(\dfrac{\sqrt{3}}{4}, \dfrac{3 \sqrt{3}}{4}\right)$

D.$\left(\dfrac{\sqrt{3}}{4}, \dfrac{3 \sqrt{3}}{4}\right]$

答案    A.

解析    根据余弦定理,有\[\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\dfrac 12,\]于是 $A=\dfrac{\pi}3$.根据圆的等张角线定义,点 $A$ 在圆弧上运动,且到 $BC$ 的距离取值范围为 $\left(a\cot A,\dfrac a2\cot\dfrac A2\right]$,即 $\left(1,\dfrac 32\right]$,因此 $\triangle ABC$ 面积的取值范围是 $\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{3 \sqrt{3}}{4}\right]$.

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