已知 $y=f(x)$ 是 $\mathbb N^{\ast}\to \mathbb N^{\ast}$ 的函数且 $f(3)<f(1)<f(2)$，若对任意 $n \in \mathbb N^{\ast}$，均有 \[f(n)+f(n+1)+f(n+2)+f(f(f(n)))=4 n+3 ,\]则 $f(2022)=$ [[nn]]．已知 $y=f(x)$ 是 $\mathbb N^{\ast}\to \mathbb N^{\ast}$ 的函数且 $f(3)<f(1)<f(2)$，若对任意 $n \in \mathbb N^{\ast}$，均有 \[f(n)+f(n+1)+f(n+2)+f(f(f(n)))=4 n+3 ,\]则 $f(2022)=$ _______．
答案 $2020$．
解析 由 $f(3)<f(1)<f(2)$，可得 $f(3)\geqslant 1$，$f(1)\geqslant 2$，$f(2)\geqslant 3$，而\[f(1)+f(2)+f(3)+f(f(f(1)))=7,\]于是\[f(3)=1,f(1)=2,f(2)=3,f(f(f(1)))=1,\]猜测\[f(n)=\begin{cases} n+1,&3\nmid n,\\ n-2,&3\mid n,\end{cases}\]则\[\begin{cases} f(n)+f(n+1)+f(n+2)=3n+3,\\ f(f(f(n)))=n,\end{cases}\]符合题意．由第二数学归纳法不难证明该通项公式，因此 $f(2022)=2022-2=2020$．