已知函数 $f(x)=\dfrac a2\ln (x+1)-\sqrt{x+2}$，其中 $a\in\mathbb R$．
1、当 $a=\dfrac 83$ 时，求函数 $f(x)$ 的单调区间．
2、当 $x\geqslant 0$ 时，$f(x)\leqslant \dfrac 3a(\sin x+\cos x)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．
解析
1、当 $a=\dfrac 83$ 时，有\[f(x)=\dfrac 43\ln (x+1)-\sqrt{x+2},\]其导函数\[f'(x)=\dfrac{8\sqrt{2+x}-3(1+x)}{6(1+x)\sqrt{2+x}}=\dfrac{(7-x)(17+9x)}{6(1+x)\sqrt{2+x}\left(8\sqrt{2+x}+3(1+x)\right)},\]因此函数 $f(x)$ 的单调递增区间是 $(-1,7)$，单调递减区间是 $(7,+\infty)$．
2、设 $g(x)=\dfrac a2\ln (x+1)-\sqrt{x+2}-\dfrac 3a(\sin x+\cos x)$，则\[g(0)=-\sqrt 2-\dfrac 3a\leqslant 0\implies a\leqslant -\dfrac{3}{\sqrt 2}~\text{或}~a>0.\]若 $a>0$，则\[g(\pi)=\dfrac a2\sqrt{\pi+1}-\sqrt{\pi+2}+\dfrac 3a\geqslant \sqrt{6\sqrt{\pi+1}}-\sqrt{\pi+2}>0,\]不符合题意，因此 $a\leqslant- \dfrac{3}{\sqrt 2}$． 当 $a\leqslant- \dfrac{3}{\sqrt 2}$ 时，当 $\sin x+\cos x\geqslant 0$ 时，有\[g(x)\leqslant -\dfrac{3}{2\sqrt 2}\ln (x+1)-\sqrt{x+2}+\sqrt 2(\sin x+\cos x),\] 右侧函数 $h(x)$ 的导函数\[h'(x)=-\dfrac{3}{2\sqrt 2(x+1)}-\dfrac{1}{2\sqrt{x+2}}+\sqrt 2\left(\cos x-\sin x\right),\]有 $h'(0)=0$，且\[h''(x)=\dfrac{3\sqrt 2}{4(1+x)^2}+\dfrac{1}{4(2+x)^{\frac 32}}-\sqrt 2(\cos x+\sin x)<\dfrac{13\sqrt 2}{16}-\sqrt 2(\cos x+\sin x),\]因此当 $x\in\left[0,\dfrac{\pi}2\right]$ 时，有 $h''(x)<0$，进而在该区间上 $h(x)\leqslant 0$，符合题意． 当 $x\in\left(\dfrac{\pi}2,+\infty\right)$ 时，有\[g(x)\leqslant \dfrac a2\ln(x+1)-\sqrt {x+2}+\dfrac{3\sqrt 2}{-a}<\dfrac{a}4-\sqrt{3}+\dfrac{3\sqrt 2}{-a}\leqslant 2-\sqrt 3-\dfrac{3\sqrt 2}8<0,\]符合题意．
综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $\left(-\infty,-\dfrac{3\sqrt 2}2\right]$．