已知函数 $f(x)=\left|\dfrac{x-2}{x+2}-ax-b\right|$，若对任意实数 $a,b$，均存在 $x_0\in [-1,2]$，使得 $f(x_0)\geqslant m$ 成立，则实数 $m$ 的取值范围是（ ）
A．$\left(-\infty,\dfrac14\right]$
B．$\left(-\infty,\dfrac 12\right]$
C．$\left(-\infty,\dfrac 23\right]$
D．$(-\infty,1]$
答案 B．
解析 考虑另一个问题，存在实数 $a,b$，对任意 $x_0\in [-1,2]$，$f(x_0)\leqslant m$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围． 记 $g(x)=\dfrac{x-2}{x+2}$，$h(x)=ax+b$，则曲线 $y=g(x)$ 在区间 $[-1,2]$ 的部分在直线 $y=h(x)-m$ 和直线 $y=h(x)+m$ 之间（包括边界）．曲线 $y=g(x)$ 在 $x\in [-1,2]$ 的部分端点为 $A(-1,-3)$，$B(2,0)$，直线 $AB:y=x-2$ 的斜率为 $ 1 $，与直线 $ AB $ 平行的切线为 $l: y=x-1 $（切点为 $ C(0,-1)$），此时曲线 $y=g(x)$ 在 $x\in [-1,2]$ 的部分位于直线 $AB$ 和直线 $l$ 之间（包括边界），因此取 $(a,b)=\left(1,-\dfrac 32\right)$，则可得 $m=\dfrac 12$ 符合题意． 另一方面，设 $r(x)=\dfrac{x-2}{x+2}-ax-b$，则\[\begin{cases} r(-1)=a-b-3,\\ r(2)=-2a-b,\\ r(0)=-1-b,\end{cases}\implies |2r(-1)+r(2)-3r(0)|=3,\]而\[|2r(-1)+r(2)-3r(0)|\leqslant 2|r(-1)|+|r(2)|+3|r(0)|\leqslant 6m,\]因此 $m\geqslant \dfrac 12$． 综上所述，新问题中实数 $m$ 的取值范围是 $\left[\dfrac 12,+\infty\right)$，因此原题中实数 $m$ 的取值范围是 $\left(-\infty,\dfrac 12\right]$．