每日一题[2909]插翅难飞

若 $p$ 为质数，则不可能为质数的是（       ）

A．$p^2+16$

B．$p^2+24$

C．$p^2+26$

D．$p^2+46$

E．$p^2+96$

答案    C．

解析    试探，有

$$\begin{array}{c|ccccc}\hline p&p^2+16&p^2+24&p^2+26&p^2+46&p^2+96\\ \hline 3&25&33&35&55&105\\ \hline 5&\boxed{41}&49&51&\boxed{71}&121\\ \hline 7&&\boxed{73}&75&&145\\ \hline \end{array}$$ 考虑到当 $p>3$ 时，$p^2\equiv 1\pmod 3$，于是 $p^2+26\equiv 0\pmod 3$，从而 $3\mid p^2+26$，因此 $p^2+26$ 不可能为质数． 当 $p>5$ 时，有 $p^2\equiv \pm 1\pmod 5$，因此若 $p^2+96$ 为合数，那么必然为 $p^2\equiv 1\pmod 5$，从而 $p\equiv \pm 1\pmod 5$；继续试探 $p=11$，此时 $p^2+96=217=7\cdot 31$；$p=19$，此时 $p^2+96=457$ 为质数． 综上所述，选项 $\boxed{C}$ 正确．